Разбор задания №14 ОГЭ — задачи на прогрессии

Коротко: в арифметической каждый следующий член прибавляет разность $d$, в геометрической — умножается на знаменатель $q$. Дальше — формула $n$-го члена или формула суммы.

Формулы прогрессий

• Арифметическая: $n$-й член $a_n=a_1+(n-1)d$; сумма $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$ или $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
• Геометрическая: $n$-й член $b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}$; сумма $S_n=\dfrac{b_1(q^{n}-1)}{q-1}$ при $q\ne 1$.
• Разность $d=a_{n+1}-a_n$ (одинакова для всех соседних членов). Знаменатель $q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.

Арифметическая: n-й член

В арифметической прогрессии $a_1=5$, разность $d=3$. Найдите $a_{10}$.

1. Формула: $a_n=a_1+(n-1)d$. Здесь $n=10$.
2. Подставляем: $a_{10}=5+(10-1)\cdot 3=5+9\cdot 3=5+27$.
3. $a_{10}=32$.

Арифметическая: сумма членов

Найдите сумму первых 10 членов прогрессии из примера 1 ($a_1=5$, $d=3$).

1. Формула суммы: $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$.
2. Подставляем: $S_{10}=\dfrac{2\cdot 5+(10-1)\cdot 3}{2}\cdot 10=\dfrac{10+27}{2}\cdot 10$.
3. $S_{10}=\dfrac{37}{2}\cdot 10=18{,}5\cdot 10=185$.

Геометрическая: n-й член

В геометрической прогрессии $b_1=3$, знаменатель $q=2$. Найдите $b_5$.

1. Формула: $b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}$. Здесь $n=5$, показатель $n-1=4$.
2. Подставляем: $b_5=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16$.
3. $b_5=48$.

Частые ошибки

Закрепите на тренажёре

В каталоге задание №14 собрано по подтипам: арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.