Разбор задания №18 ОГЭ — фигуры на квадратной решётке
Задание №18 — фигура нарисована на клетчатой бумаге, сторона клетки равна 1. Нужно найти
площадь или длину. Считать удобно прямо по клеткам.
Коротко: если сторона и высота фигуры идут вдоль линий сетки —
считаем по обычным формулам, измеряя их в клетках. Если стороны наклонные — достраиваем
до прямоугольника или применяем формулу Пика.
Памятка
Три рабочих способа
По формуле: площадь треугольника $S=\dfrac12 a h$, прямоугольника $S=a\cdot b$ — стороны и высоты считаем в клетках.
Достраивание: наклонную фигуру «обводим» прямоугольником и вычитаем площади лишних прямоугольных треугольников по углам.
Формула Пика: $S=В+\dfrac{Г}{2}-1$, где $В$ — число узлов внутри фигуры, $Г$ — число узлов на границе.
Длина наклонного отрезка — по теореме Пифагора: горизонталь и вертикаль (в клетках) — катеты, отрезок — гипотенуза.
Пример 1
Площадь треугольника по клеткам
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге со стороной клетки 1.
Катеты идут по линиям сетки. Измеряем в клетках: основание $=6$, высота $=4$.
Площадь прямоугольного треугольника: $S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac{24}{2}$.
$S=12$.
Ответ: 12.
Пример 2
Длина наклонного отрезка
Найдите длину отрезка, если по горизонтали он проходит 3 клетки, а по вертикали — 4 клетки.
Наклонный отрезок — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 (в клетках).
По теореме Пифагора: $\ell=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$.
$\ell=5$.
Ответ: 5.
Пример 3
Когда стороны наклонные — формула Пика
Если у фигуры все вершины в узлах сетки, а стороны наклонные, удобно посчитать
площадь по формуле Пика.
$S=В+\dfrac{Г}{2}-1$. Например, если внутри фигуры $В=6$ узлов, а на границе $Г=4$ узла, то
$S=6+\dfrac{4}{2}-1=6+2-1=7$.
Считаем узлы строго внутри фигуры — это $В$.
Считаем узлы, лежащие на сторонах и в вершинах, — это $Г$.
Подставляем в формулу: $S=В+\dfrac{Г}{2}-1$.
В этом примере $S=7$.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Для треугольника забывают множитель $\dfrac12$ и берут просто $a\cdot h$.
Берут наклонную сторону как высоту: высота должна идти по линии сетки (перпендикулярно основанию).
В формуле Пика путают узлы внутри ($В$) и на границе ($Г$) или забывают «$-1$».
Длину наклонного отрезка считают «по клеткам на глаз» вместо теоремы Пифагора.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №18 собрано по подтипам: треугольники, четырёхугольники, отрезки
и окружности на решётке. Фигуры каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.