Задание №9 — «Решите уравнение». Встречаются линейные, квадратные и дробно-рациональные
уравнения, иногда системы. Главное — узнать тип и применить нужный приём.
Коротко: линейное — переносим и делим; квадратное — дискриминант
или теорема Виета; дробно-рациональное — общий знаменатель и обязательно проверка ОДЗ
(знаменатель не равен нулю).
Памятка
Что нужно помнить
Линейное $ax+b=0$: переносим неизвестные в одну сторону, числа — в другую, делим на коэффициент.
Квадратное $ax^2+bx+c=0$: дискриминант $D=b^2-4ac$, корни $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Если $D<0$ — корней нет.
Теорема Виета (для $x^2+px+q=0$): $x_1+x_2=-p$, $x_1\cdot x_2=q$ — часто корни видны устно.
Дробно-рациональное: дробь равна нулю, когда числитель $=0$, а знаменатель $\ne 0$.
Корни, обнуляющие знаменатель, отбрасываем.
Пример 1
Линейное уравнение
Решите уравнение $5(x+2)-3=2x+16$.
Раскрываем скобки: $5x+10-3=2x+16$, то есть $5x+7=2x+16$.
Переносим: $5x-2x=16-7$, получаем $3x=9$.
Делим: $x=3$.
Ответ: 3.
Пример 2
Квадратное уравнение
Решите уравнение $x^2-5x+6=0$.
Дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$.
Корни: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$, то есть $x_1=3$, $x_2=2$.
Проверка по Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\cdot x_2=6$ — сходится.
Ответ: 2 и 3 (в бланк — оба корня).
Пример 3
Дробно-рациональное уравнение
Решите уравнение $\dfrac{x^2-9}{x-3}=0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x^2-9=0$, отсюда $x=3$ или $x=-3$.
Теряют знак при переносе через знак равенства: переносим — меняем знак.
В квадратном уравнении записывают только один корень. Если $D>0$ — корней два.
В дробно-рациональном забывают про ОДЗ и оставляют корень, обнуляющий знаменатель.
Путают знак $-b$ в формуле корней: при $b=-5$ получается $-b=+5$.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №9 собрано по подтипам: линейные, квадратные, дробно-рациональные
уравнения и системы. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.