Загрузка заданий...
Вариант 11 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.
Ответ: 50
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} \cdot 0,6 - \frac{1}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{1} \cdot 0,6 - \frac{1}{25}\).
Последовательно выполняем действия (умножение, вычитание):
Шаг 1: \((\frac{4}{1}) \cdot 0,6 = 2,4\).
Шаг 2: \((2,4) - \frac{1}{25} = 2,36\).
Получили результат \(2,36\).
Ответ: \(2,36\).
Ответ: 2,36
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) a + 4 > 0 ⇔ a > -4 — верно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — неверно.
4) -4 - a > 0 ⇔ a < -4 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{24} + \sqrt{150})\sqrt{6}$$
Решение
Вычислим выражение: (√24 + √150)·√6.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √24 = 2√6, √150 = 5√6.
Тогда получаем (2√6 + 5√6)·√6 = 7√6·√6.
Так как √6·√6 = 6, имеем 7·6 = 42.
Ответ: 42.
Ответ: 42
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{8}{x - 1} = -1$$
Решение
Решим уравнение: 8/(x - 1) = -1
Область допустимых значений: x != 1.
Умножим обе части уравнения на x - 1:
8 = -1(x - 1)
Раскроем скобки:
8 = -1x + 1
Перенесём число в левую часть:
7 = -1x
x = 7 / -1
x = -7
Проверка ОДЗ: x = -7, x != 1, условие выполняется.
Ответ: -7
Ответ: -7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 60 билетов, Оскар не выучил 45 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 60.
Благоприятных исходов: 15 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{15}{60}\) = 0,25.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = 1x - 4
2) y = 2x + 3
3) y = 1x + 2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Ответ: 0,125
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x - 8 ≤ -x + 6
Решение
Решим неравенство: -3x - 8 <= -x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= 14.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x >= -7.
Значит, x больше или равно -7.
Этому соответствует промежуток [-7;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 18, d = 2, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 18 + (15 - 1)·2 = 46.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(18 + 46)/2 = 480.
Ответ: 480.
Ответ: 480
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 4 · 10 = \(\frac{40}{2}\) = 20.\nОтвет: 20.
Ответ: 20
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.\nr = (16√3 · √3) / 6 = \(\frac{48}{6}\) = 16.\nОтвет: 16.
Ответ: 16
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 41°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.\nВ этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.\nСледовательно, острый угол равен 2 · 41° = 82°.\nОтвет: 82.
Ответ: 82
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.\nПо клеткам AC = 8.\nСредняя линия равна 8 / 2 = 4.\nОтвет: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(4x^2-5x=8x-10\).
Шаг 2. Переносим влево: \(4x^2-13x+10=0\).
Шаг 3. Разложим: \((4x-5)(x-2)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{5}{4}\) или \(x=2\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{5}{4}\): \(y=8\cdot\dfrac{5}{4}-10=0\).
При \(x=2\): \(y=8\cdot2-10=6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{5}{4};\,0\right);\ (2;\,6)\).
Правильный ответ: (5/4;0);(2;6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/36 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/99 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/36 + S/99) = 2 / (\(\frac{1}{36}\) + \(\frac{1}{99}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·36·99 / (36 + 99) = 7128 / 135 = 52,8 км/ч.
Ответ: 52,8.
Правильный ответ: 52,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=x|x+2|-5x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x+2| на двух промежутках x ≥ −2 и x < −2.
Шаг 1. При x ≥ −2: |x+2| = x+2, функция y = x(x+2)−5x = x²+(2−5)x.
Вершина: y = −(5−2)²/4 = -\(\frac{9}{4}\).
Шаг 2. При x < −2: |x+2| = −(x+2), функция y = −x(x+2)−5x = −x²−(2+5)x.
Вершина: y = (2+5)²/4 = \(\frac{49}{4}\).
Шаг 3. Прямая y = m имеет ровно две общие точки при m, равном значению одной из вершин.
Ответ: -\(\frac{9}{4}\); \(\frac{49}{4}\).
Правильный ответ: -9/4; 49/4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(13² − 12²) = √(25) = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 4.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 4.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 4 + 4 = 8.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 19 · 8 = 152.
Ответ: 152.
Правильный ответ: 152
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: