Загрузка заданий...
Вариант 19 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R16?
Решение
В маркировке 195/60 R16 ширина шины равна 195 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 195 · 60 / 100 = 117 мм. Ответ: 117.
Ответ: 117
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/55 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
Ответ: 7.7
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
Ответ: 802.8
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,02 \cdot \frac{7}{5} : 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,02 \cdot \frac{7}{5} : 0,8\).
Последовательно выполняем действия (умножение, деление):
Шаг 1: \((0,02) \cdot \frac{7}{5} = 0,028\).
Шаг 2: \((0,028) : 0,8 = 0,035\).
Получили результат \(0,035\).
Ответ: \(0,035\).
Ответ: 0,035
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от \(-\frac{4}{1}\) до \(\sqrt{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(-\frac{4}{1}\) и \(\sqrt{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(-\frac{71}{100}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^3)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^3)^2 = 4^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^6 = 4^4.
Получаем 4^4 = 256.
Ответ: 256.
Ответ: 256
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 8x + 7y = -119 \\ 5x + 5y = -80 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
8x + 7y = -119
5x + 5y = -80
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на 8.
Получим:
\((8x + 7y = -119) \cdot 5\): 40x + 35y = -595
\((5x + 5y = -80) \cdot 8\): 40x + 40y = -640
Вычтем второе уравнение из первого:
-5y = 45
y = 45 / -5 = -9
Подставим y = -9 в первое уравнение:
8x + 7y = -119
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;-9)
Ответ: -7;-9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Всего исходов: 40. Вероятность события \(A \cup \overline{B}\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=32/40=0,8\).
Ответ: 0,8
Ответ: 0,8
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -6/x
Б) y = -3x² + 9x - 4
В) y = 0.6666666666666666x - 5
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -40 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = -40 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-40 − 32)/9 = -40.
Ответ: -40.
Ответ: -40
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 3)(x - 3) ≤ 0
Решение
Нули выражения: x = -3 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 3) <= 0 получаем решение [-3;3]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 29 мест, а в десятом ряду 41 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (41 - 29) / (10 - 6) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 29 - 5·3 = 14.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 14 + 18·3 = 68.
Ответ: 68.
Ответ: 68
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 16 · 31 = 496/2 = 248.\nОтвет: 248.
Ответ: 248
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.\nРасстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.\nh = 2r = 2 · 34 = 68.\nОтвет: 68.
Ответ: 68
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 5 + 5 = 10.
S = 10 · 12 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.\nОтвет: 15.
Ответ: 15
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4-(x-2)^2-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=3\):
\(x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 2-√3;2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 4. Против течения: x − 4.
Шаг 2. Составляем уравнение:
210/(x+4) + 9 + 210/(x−4) = 27.
Шаг 3. Переносим стоянку: 210/(x+4) + 210/(x−4) = 18.
Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:
210(x−4) + 210(x+4) = 18(x²−16).
Шаг 5. Левая часть: 2·210·x = 420x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{15}{2}\) + 9 + \(\frac{21}{2}\) = 27. ✓
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+1),\ x\ne 2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=-(x^2+a) \) с выколотой точкой при \( x=2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2,5; -2; 2 \).
Ответ: \( -2,5; -2; 2 \).
Правильный ответ: -2,5; -2; 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 60, AC = 36.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{1}{5}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 5.
Одна «часть» = AC / (5+1) = 36 / 6 = 6.
Шаг 3. MC = 5 · 6 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников A₁CB₁ и ACB.
Шаг 1. Угол C — общий (∠A₁CB₁ = ∠ACB).
Шаг 2. AA₁ ⊥ BC ⟹ в △AA₁C: ∠CAA₁ = 90° − ∠C.
BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁C: ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Значит ∠CA₁B₁ = ∠CB₁A₁ = 90° − ∠C = ∠CAB, т.е. ∠CA₁B₁ = ∠CAB.
Шаг 3. По двум равным углам △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25 : 24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 14.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 25 : 24 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 25:24:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{25}{24}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{25}{24}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·24/(25+24) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 14/(2·sin A) = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: