Загрузка заданий...

Вариант 27 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.

Ответ: 200,0.

Ответ: 200,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,09 : \frac{2}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,09 : \frac{2}{25}$.

Последовательно выполняем действия (деление):

Шаг 1: $(0,09) : \frac{2}{25} = 1,125$.

Получили результат $1,125$.

Ответ: $1,125$.

Ответ: 1,125

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -4 и $-\frac{36}{25}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,32

$-\frac{12}{5}$

$-\frac{171}{40}$

0,5

Решение

Сравним числа -4 и $-\frac{36}{25}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($-\frac{12}{5}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^3 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^6 = 5^3.

Получаем 5^3 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 12 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + x - 12 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -12.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-12 = 49.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √49) / 2 = -4

x₂ = (-1 + √49) / 2 = 3

Ответ: -4;3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Олег не выучил 26 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 24 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{24}{50}$ = 0,48.

Ответ: 0,48.

Ответ: 0,48

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = 3x

2) y = 3x + 4

3) y = 0,5x - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 14, sinα = 0,214, а S = 6.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·6/(14·0,214) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 49

Решение

Из неравенства x² <= 49 получаем границы x = ±7. Верное решение: [-7;7]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 49 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 49 минут пройдёт 7 промежутков по 7 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^7 = 3,125 мг.

Ответ: 3,125.

Ответ: 3,125

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 33° и 44°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.\nТретий угол равен 180° - 33° - 44° = 103°.\nОтвет: 103.

Ответ: 103

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.\na = 2r = 2 · 40 = 80.\nS = a² = 80² = 6400.\nОтвет: 6400.

Ответ: 6400

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 24° и 67°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.\nИскомый угол равен 180° - 24° - 67° = 89°.\nОтвет: 89.

Ответ: 89

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.\nОтвет: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $6a-15b+16$, если $\dfrac{2a-b+2}{a-2b+2}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $6a-15b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-b+2 = 8(a-2b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-b+2 = 8a-16b+16$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 6a-15b+14$, откуда $6a-15b = -14$.

Шаг 4. Вычисляем: $6a-15b+16 = -14+16 = 2$.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 4 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 36 км.

Время плота в пути: 36 / 4 = 9 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

9 − 1 = 8 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

126/(x+4) + 126/(x−4) = 8.

Шаг 5. Умножаем на (x+4)(x−4) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 32.

Шаг 7. Проверка: $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = 8. ✓

Ответ: 32.

Правильный ответ: 32

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{(1/2x^2+1/2x)|x|}{x+1}\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сократить общий множитель в числителе и знаменателе, учитывая исключённую точку.

Шаг 1. Числитель: ($\frac{1}{2}$x² + $\frac{1}{2}$x)|x| = $\frac{1}{2}$x(x+1)|x|.

Знаменатель: x + 1.

Шаг 2. При x ≠ −1 сокращаем (x+1): y = $\frac{1}{2}$x|x|.

Шаг 3. Но x = −1 исключена из ОДЗ (знаменатель = 0).

«Пропущенное» значение: y = $\frac{1}{2}$·(−1)·|−1| = $\frac{1}{2}$·(−1)·1 = -$\frac{1}{2}$.

Шаг 4. Прямая y = -$\frac{1}{2}$ проходит через выколотую точку — общих точек с графиком нет.

Ответ: -$\frac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 15 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(15² − 12²) = √(81) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба угла дополняют угол A до 90°.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC, в △BB₁A: ∠BB₁C₁ = 90° − ∠A.

Шаг 2. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁A: ∠BCC₁ = 90° − ∠A.

Шаг 3. ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁ = 90° − ∠A. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.

Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 8 = 10.

S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 10)/2 · 6 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2