Загрузка заданий...
Вариант 34 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.
Ответ: 50
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{20} + 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{20} + 3\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((\frac{1}{20}) + 3 = 3,05\).
Получили результат \(3,05\).
Ответ: \(3,05\).
Ответ: 3,05
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -4 - a < 0 ⇔ a > -4 — верно.
3) a > -3 ⇔ a > -3 — неверно.
4) a + 4 < 0 ⇔ a < -4 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)$$
Решение
Вычислим выражение: (√11 - 2)(√11 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√11)² - 2² = 11 - 4 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 6x - 27 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 6x - 27 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -6, c = -27.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -6² - 4·1·-27 = 144.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (6 - √144) / 2 = -3
x₂ = (6 + √144) / 2 = 9
Ответ: -3;9
Ответ: -3;9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Егор не выучил 22 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 28 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{28}{50}\) = 0,56.
Ответ: 0,56.
Ответ: 0,56
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 0.6666666666666666x - 5
Б) y = -6/x
В) y = -3x² + 9x - 4
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 135,2 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 135,2·1000 = 135 200 Дж.
v = √(2·135 200/1600) = 13.
Ответ: 13.
Ответ: 13
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 3x − 3 > 12 \\ x + 2,8 < 7,8 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 27 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 27, d = -4, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·27 + 4·(-4))/2 = 95.
Ответ: 95.
Ответ: 95
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 68°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Биссектриса делит угол пополам.\nПоэтому ∠BAD = 68° : 2 = 34°.\nОтвет: 34.
Ответ: 34
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 2. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.
По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.
Следовательно, OA = a√5 / 2.
По условию OA = 2, значит a = 4/√5.
Площадь квадрата равна a² = 3,2.
Ответ: 3,2.
Ответ: 3,2
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.\nh₁ = 54 / 9 = 6, h₂ = 54 / 18 = 3.\nТребуемая высота равна 3.\nОтвет: 3.
Ответ: 3
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.\nПо клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.\nS = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.\nОтвет: 24.
Ответ: 24
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-18}{(x+4)^2-10}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-18<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+4)^2-10<0\).
Шаг 2. \((x+4)^2<10\).
Шаг 3. \(-\sqrt{10}<x+4<\sqrt{10}\).
Шаг 4. Вычитаем 4: \(-4-\sqrt{10}<x<-4+\sqrt{10}\).
Ответ: \((-4-\sqrt{10};\; -4+\sqrt{10})\).
Правильный ответ: (-4-√10;-4+√10)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/x − 105/(x+16) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+16):
105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).
1680 = 4·x² + 64·x.
4x² + 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-6x+11,& x\ge 2,\\x+3,& x<2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {2}∪(3;5).
Ответ: {2}∪(3;5).
Правильный ответ: {2}∪(3;5)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,2, а AB = 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 3,2, AB = 3.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 3,2·AC − 3² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 3,2·AC − 9 = 0.
Положительный корень: AC = 5.
Проверка: D = (5² − 3²)/5 = \(\frac{16}{5}\) = 3,2. ✓
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба угла дополняют угол B до 90°.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC, в △AA₁B: ∠BAA₁ + ∠B = 90°, т.е. ∠BAA₁ = 90° − ∠B.
∠AA₁C₁ — смежный прямому углу при A₁, поэтому ∠AA₁C₁ = 90° − ∠B.
Шаг 2. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁B: ∠BCC₁ = 90° − ∠B.
∠ACC₁ = ∠BCC₁ = 90° − ∠B (т.к. A₁ лежит на BC).
Шаг 3. ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁ = 90° − ∠B. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 18 · 22 = 396.
AT = √396.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 4 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{11}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 10,8.
Ответ: 10,8.
Правильный ответ: 10,8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: