Загрузка заданий...

Вариант 49 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Полина летом отдыхает у дедушки в деревне Ясная. В четверг они собираются съездить на велосипедах в село Майское в магазин. Из деревни Ясная в село Майское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Камышёвка до деревни Хомяково, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Майское. Есть и третий маршрут: в деревню Камышёвка можно свернуть на прямую тропинку в село Майское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Полина с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Хомяково	Майское	Камышёвка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ясная, промежуточная деревня на прямом шоссе — Камышёвка, место поворота на другое шоссе — Хомяково, конечный пункт — Майское.

Получаем соответствие: Ясная — 1, Камышёвка — 2, Хомяково — 3, Майское — 4.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Хомяково, Майское, Камышёвка.

Следовательно, ответ: 342.

Ответ: 342

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Васильково до села Иваново, если они поедут по шоссе через деревню Журавушка?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Васильково до Журавушка и от Журавушка до Иваново.

От Васильково до Журавушка: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Журавушка до Иваново: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Калиновка до села Ольгино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 5 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 13 км.

Ответ: 13.

Ответ: 13

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Дивная в село Ольгино Ваня с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Калиновка на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?

Решение

Первый участок — по шоссе от Дивная до Калиновка: 11 км.

Время на первом участке: 11 / 15 · 60 = 44.0 мин.

Второй участок — по прямой от Калиновка до Ольгино: 13 км.

Время на втором участке: 13 / 10 · 60 = 78.0 мин.

Общее время: 44.0 + 78.0 = 122,0 мин.

Ответ: 122,0.

Ответ: 122,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 3 л молока, 2 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский», 1 кг говядины, 3 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 3·42=126 + 2·27=54 + 1·328=328 + 3·34=102 + 2·259=518 = 1 128

Николаево: 3·49=147 + 2·29=58 + 1·318=318 + 3·19=57 + 2·250=500 = 1 080

Зябликово: 3·52=156 + 2·32=64 + 1·324=324 + 3·24=72 + 2·255=510 = 1 126

Старая: 3·48=144 + 2·38=76 + 1·319=319 + 3·30=90 + 2·264=528 = 1 157

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 080 руб.

Ответ: 1 080.

Ответ: 1080

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,03 - \frac{3}{50} + \frac{7}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,03 - \frac{3}{50} + \frac{7}{2}$.

Последовательно выполняем действия (вычитание, сложение):

Шаг 1: $(0,03) - \frac{3}{50} = -0,03$.

Шаг 2: $(-0,03) + \frac{7}{2} = 3,47$.

Получили результат $3,47$.

Ответ: $3,47$.

Ответ: 3,47

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3,16 и -2,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{13}{5}$

-1,35

$-\frac{23}{100}$

$-\frac{3}{5}$

Решение

Сравним числа -3,16 и -2,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 ($-\frac{13}{5}$) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(6\sqrt{3})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (6√3)².

Используем свойство степени произведения: (6√3)² = 6² · (√3)².

Получаем 36 · 3 = 108.

Ответ: 108.

Ответ: 108

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 4x + 12 = 44

Решение

Решим уравнение: 4x + 12 = 44

Перенесём 12 в правую часть:

4x = 44 - 12

4x = 32

Разделим обе части на 4:

x = 32 / 4

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 451,25 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 451,25/(9,5²) = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

x + 3 > 9x - 5

(0;+∞)

(-1;+∞)

(-∞;1)

(-∞;-0,8)

Решение

Решим неравенство: x + 3 > 9x - 5.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -8x < -8.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -8: x < 1.

Значит, x меньше 1.

Этому соответствует промежуток (-∞;1).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.

За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 6·3^4 = 486 мг.

Ответ: 486.

Ответ: 486

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике биссектриса совпадает с высотой.\nВысота равна a·√3 / 2.\nЗначит, a·√3 / 2 = 12√3.\nОтсюда a / 2 = 12, значит a = 24.\nОтвет: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 18, BC = 9, CD = 12. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.\nДля трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.\nAD = AB + CD - BC = 18 + 12 - 9 = 21.\nОтвет: 21.

Ответ: 21

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.\nПоэтому угол между диагоналями равен 2·74° или его дополнительному углу.\nОстрый угол равен 32°.\nОтвет: 32.

Ответ: 32

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.\nОтвет: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.

Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.

Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·30) + S/(2·(x+9)).

Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·30) + S/(2·(x+9)).

Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·30·x·(x+9):

2·30·(x+9) = x·(x+9) + 30·x.

Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -21x − 540 = 0.

Шаг 6. D = -21² + 4·540 = 2601, √D = 51.

x = (−-21 + 51) / 2 = 36 (берём положительный корень).

Ответ: 36.

Правильный ответ: 36

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-10x+25,& x\ge 4,\\x-2,& x<4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪(1;2).

Ответ: {0}∪(1;2).

Правильный ответ: {0}∪(1;2)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 30, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 30 / 1,5 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба угла дополняют угол B до 90°.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC (высота), значит в △AA₁B угол при A₁ прямой.

∠CAA₁ = 90° − ∠B (дополнение до прямого угла в △AA₁B).

Шаг 2. CC₁ ⊥ AB (высота), значит в △CC₁B угол при C₁ прямой.

∠CC₁A₁ — внешний угол при C₁ относительно BC;

по тому же треугольнику: ∠CC₁A₁ = 90° − ∠B.

Шаг 3. Оба угла равны 90° − ∠B, значит ∠CC₁A₁ = ∠CAA₁. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 12, AC = 72, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 12²/72 = 144/72.

Шаг 4. CD = AC − AD = 72 − 144/72 = 70.

Ответ: 70.

Правильный ответ: 70

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2