Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.
Исходящие вызовы
175 мин.
300 мин.
275 мин.
150 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.
Ответ: 1523
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.
Ответ: 680
3Задание 31 балл
Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?
Решение
По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.
Ответ: 150
4Задание 41 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.
Ответ: 500
5Задание 51 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
«0»
Нет
1,5 руб. за 1 МБ
«300»
290 руб. за 300 МБ трафика в месяц
1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»
375 руб. за 700 МБ трафика в месяц
0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ
Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?
Решение
Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.
Ответ: 672
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$3,5 - \frac{5}{4} - \frac{6}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(3,5 - \frac{5}{4} - \frac{6}{25}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3,5) - \frac{5}{4} = 2,25\).
Шаг 2: \((2,25) - \frac{6}{25} = 2,01\).
Получили результат \(2,01\).
Ответ: \(2,01\).
Ответ: 2,01
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
a - 5 < 0
2
a - 4 < 0
3
\(\frac{1}{a} < 0\)
4
a - 5 > 0
Решение
По чертежу видно, что 4 < a < 5.
Проверим варианты ответа:
1) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — верно.
2) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a - 5 > 0 ⇔ a > 5 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{2})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√2)².
Используем свойство степени произведения: (4√2)² = 4² · (√2)².
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на -1.
Получим:
\((-x + 4y = 9) \cdot 4\): -4x + 16y = 36
\((4x - 7y = 0) \cdot -1\): -4x + 7y = 0
Вычтем второе уравнение из первого:
9y = 36
y = 36 / 9 = 4
Подставим y = 4 в первое уравнение:
-x + 4y = 9
Получаем x = 7.
Ответ: (7;4)
Ответ: 7;4
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 25 чашек: 12 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 13 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{13}{25}\) = 0,52.
Ответ: 0,52.
Ответ: 0,52
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2 = 15, sinα = 0,417, а S = 37,5.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).
d₁ = 2·37,5/(15·0,417) = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
5x + 2 ≥ -5x
1
[-0,2;+∞)
2
(-∞;-0,2]
3
(-∞;0]
4
[0;+∞)
Решение
Решим неравенство: 5x + 2 >= -5x.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x >= -2.
Делим обе части на 10: x >= -0,2.
Значит, x больше или равно -0,2.
Этому соответствует промежуток [-0,2;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 39 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 39, d = -4, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·39 + 4·(-4))/2 = 155.
Ответ: 155.
Ответ: 155
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 20° и AK = CK.
Решение
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 20°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·20° = 40°.
Тогда ∠B = 180° - 40° - 20° = 120°.
Ответ: 120.
Ответ: 120
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите BC, если AC = 14.
Решение
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Поэтому AB = 2R = 50.
Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
По теореме Пифагора находим неизвестный катет.
Ответ: 48.
Ответ: 48
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 40, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 4, высота равна 5.
S = 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все углы ромба равны.
2
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(2x^2+6y^2=62\).
Шаг 2. По второму: \(2x^2+6y^2=31x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(62=31x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\):
\(4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3\).
Ответ: \((2;\,-3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (2;-3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 18%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 35 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 18% воды, значит сухого вещества 82%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 35 кг сухих фруктов:
35 · 82/100 = 28,7 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 28,7.
x = 28,7 / 0,14 = 205 кг.
Ответ: 205.
Правильный ответ: 205
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 8, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 2 = 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 36, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
