Загрузка заданий...

Вариант 9 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	баня	гараж	теплица
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.

Получаем последовательность: 7425.

Ответ: 7425

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 28 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 68 плиток.

В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈68 / 10⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Решение

По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.

Решение

Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.

Ответ: 29.

Ответ: 29

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	20 000 руб.	15 370 руб.	1,6 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	14 000 руб.	4,9 кВт	4,2 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.

Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.

Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} : \frac{2}{9} : \frac{4}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} : \frac{2}{9} : \frac{4}{5}$.

Последовательно выполняем действия (деление, деление):

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) : \frac{2}{9} = \frac{9}{10}$.

Шаг 2: $(\frac{9}{10}) : \frac{4}{5} = \frac{9}{8}$.

Получили дробь $\frac{9}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,125$.

Ответ: $1,125$.

Ответ: 1,125

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -3,875, но меньше 3,6.
В ответе укажите номер правильного варианта.

3,875

4,56

4,5

-2,08

Решение

Сравним числа -3,875 и 3,6. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-2,08) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{2})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (3√2)².

Используем свойство степени произведения: (3√2)² = 3² · (√2)².

Получаем 9 · 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 8y = 78 \\ -4x - 8y = -96 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x + 8y = 78

-4x - 8y = -96

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 1.

Получим:

$(x + 8y = 78) \cdot -4$: -4x - 32y = -312

$(-4x - 8y = -96) \cdot 1$: -4x - 8y = -96

Вычтем второе уравнение из первого:

-24y = -216

y = -216 / -24 = 9

Подставим y = 9 в первое уравнение:

x + 8y = 78

Получаем x = 6.

Ответ: (6;9)

Ответ: 6;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $\overline{A} \cap B$: 2.

$P=2/8=0,25$.

Ответ: 0,25

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 117,6 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 117,6·1000 = 117 600 Дж.

v = √(2·117 600/1200) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

1x - x² > 0

Решение

Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: (0;1). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 11.

Сначала найдём последний ряд: a11 = 15 + (11 - 1)·2 = 35.

Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(15 + 35)/2 = 275.

Ответ: 275.

Ответ: 275

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота совпадает с высотой.\nВысота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.\nПолучаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.\nОтвет: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.\na = 2r = 2 · 6√2 = 12√2.\nДиагональ квадрата равна a√2.\nd = 12√2 · √2 = 24.\nОтвет: 24.

Ответ: 24

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 24, BD = 28, AB = 6. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.\nСледовательно, DO = BD / 2 = 28 / 2 = 14.\nОтвет: 14.

Ответ: 14

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.\nОтвет: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-2)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(2;\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:

44 · 83/100 = 36,52 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.

x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.

Ответ: 166.

Правильный ответ: 166

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=x|x+2|-7x\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть |x+2| на двух промежутках x ≥ −2 и x < −2.

Шаг 1. При x ≥ −2: |x+2| = x+2, функция y = x(x+2)−7x = x²+(2−7)x.

Вершина: y = −(7−2)²/4 = -$\frac{25}{4}$.

Шаг 2. При x < −2: |x+2| = −(x+2), функция y = −x(x+2)−7x = −x²−(2+7)x.

Вершина: y = (2+7)²/4 = $\frac{81}{4}$.

Шаг 3. Прямая y = m имеет ровно две общие точки при m, равном значению одной из вершин.

Ответ: -$\frac{25}{4}$; $\frac{81}{4}$.

Правильный ответ: -25/4; 81/4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 40, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 21 и 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 21² + (AB/2)² = 21² + 20² = 841. R = 29.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 20 от центра:

(CD/2)² = R² − 20² = 841 − 400 = 441.

CD/2 = 21.

Шаг 3. CD = 2 · 21 = 42.

Ответ: 42.

Правильный ответ: 42

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке L и AD в точке N.

Центральная симметрия переводит BC в AD и L в N (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит CL = AN. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 10 = 11.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 11)/2 · 24 = 130.

Ответ: 130.

Правильный ответ: 130

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2