Делителей у числа бывает много, бывает мало. Числа с самым коротким списком делителей называют простыми — из них, как из кирпичей, складывают все остальные.
Всё дело в количестве делителей
7 → 1, 7 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12
У семёрки делителей всего два: единица и она сама.
У двенадцати — шесть. По этому признаку числа и делят на два вида.
Простое число — ровно два делителя: 1 и само число.
Например 2, 3, 5, 7, 11.
Составное число — делителей больше двух.
Например 4, 6, 8, 9, 12.
Единица — ни то, ни другое: у неё делитель всего один.
Число 9 простое? Оно ведь не делится на 2.
Составное: 9 = 3 · 3.
Делители 1, 3, 9 — их три, а у простого ровно два.
Нечётное не значит простое.
Что спросить у класса
Сколько делителей у числа 7? А у 12?
Почему единица не простая?
Нечётное число — это то же самое, что простое?
1 из 6
Решето: вычеркнуть всё лишнее
вычёркиваем кратные 2, 3, 5, 7
Простые числа не выбирают по одному — их получают
вычёркиванием. Способу больше двух тысяч лет, придумал его Эратосфен.
Вычёркиваем кратные двойки, кроме самой двойки. Потом кратные
тройки, пятёрки, семёрки. Всё, что уцелело, — простые числа.
Дальше семёрки идти не нужно: следующее простое — 11,
а 11 · 11 = 121, это больше сотни. Все составные числа до ста уже вычеркнуты.
Показать классу
Что спросить у класса
Почему саму двойку не вычёркиваем?
Какие числа вычеркнулись дважды?
Почему можно остановиться на семёрке?
2 из 6
Как проверить одно число
97 : 2, : 3, : 5, : 7 — ни одно не подошло
Таблица кончается на сотне, а числа — нет. Проверять
подряд все делители не нужно: хватает простых, и только до корня.
Делим на простые: 2, 3, 5, 7, 11 … пока делитель,
умноженный сам на себя, не станет больше числа.
Разделилось хоть раз — составное. Ни разу — простое.
Почему хватает корня: делители ходят парами.
Если бы у 97 был делитель больше 9, его пара была бы меньше 9 —
и мы бы её уже нашли.
Показать классу
Что спросить у класса
На какие числа проверяем?
Где можно остановиться и почему?
Что сразу говорит, что число составное?
3 из 6
Зачем нужны простые числа
60 = 2 · 2 · 3 · 5
Простые числа — кирпичи, из которых собрано любое
натуральное число. Разложение на простые множители у каждого числа
своё и только одно.
По разложению находят все делители числа сразу.
По разложению двух чисел ищут их общие делители —
это пригодится при сокращении дробей.
На больших простых числах держится шифрование в интернете:
перемножить два простых легко, а разложить обратно — почти невозможно.
Сколько существует простых чисел — их можно пересчитать?
Простых чисел бесконечно много.
Это доказал Евклид почти двадцать три века назад.
Что спросить у класса
Из чего собрано число 60?
У всех ли чисел разложение своё?
Где простые числа встречаются вне уроков?
4 из 6
Проверьте себя
Пять заданий по тому, что разобрали. Если ответ не сходится,
придёт подсказка — и можно попробовать ещё раз.
Показать классу
5 из 6
Главное
Простое число — ровно два делителя, единица и оно само.
Составное — делителей больше двух.
Единица не простая и не составная.
2 — единственное чётное простое число.
Чтобы проверить число, делят его на простые до корня:
разделилось — составное, нет — простое.
6 из 6
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.