Пропорция — равенство двух отношений, и в ней всегда можно найти четвёртое число по трём известным. Масштаб карты — самый частый случай такой задачи.
Что такое пропорция
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$
Пропорция — это равенство двух отношений. Числа
по краям записи называют крайними, посередине — средними.
Главное свойство: произведение крайних равно
произведению средних. Здесь 2 · 12 = 3 · 8 = 24.
Откуда это берётся: умножим обе части равенства
на оба знаменателя — дроби исчезнут, останется как раз это.
Что спросить у класса
Какие числа здесь крайние?
Проверьте свойство на $\tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{12}$.
Верна ли пропорция $\tfrac{2}{5} = \tfrac{6}{14}$?
1 из 7
Найти неизвестное
$\dfrac{3}{4}$ = x/20 → x = 3 · 20 : 4 = 15
Перемножаем крест-накрест и делим на оставшийся
множитель.
Неизвестное = произведение двух известных :
третий множитель.
Перемножать по строкам нельзя: 3 · 4 и x · 20 —
это не то равенство. Крест-накрест означает именно накрест.
Что спросить у класса
Найдите x в пропорции $\tfrac{5}{8}$ = x/24.
Что на что умножаем?
На что потом делим?
2 из 7
Как читать масштаб
1 : 100 000 — в 1 см карты 1 км местности
Масштаб — отношение длины на карте к длине
на местности. Запись 1 : 100 000 значит: один сантиметр карты —
это сто тысяч сантиметров на земле.
100 000 см = 1000 м = 1 км.
Сантиметры надо перевести. Ответ «расстояние
150 000 см» формально верен, но такого ответа не бывает: пишут
1,5 км.
Что спросить у класса
Сколько метров в 1 см при масштабе 1 : 5000?
А километров при 1 : 100 000?
Почему нужно переводить единицы?
3 из 7
Туда умножаем, обратно делим
с карты на местность — умножение
С карты на местность: длину на карте умножаем
на знаменатель масштаба.
С местности на карту: делим.
Проверка смыслом: на местности всегда больше.
Если после расчёта карта оказалась больше поля, вы разделили там,
где надо было умножить.
Что спросить у класса
Отрезок на карте 3 см, масштаб 1 : 20 000. Сколько на местности?
Как проверить, что не перепутали действие?
Расстояние 4 км, масштаб 1 : 100 000. Сколько на карте?
4 из 7
Посчитаем по карте
Меняем масштаб и смотрим, как меняется расстояние.
Пусть класс называет действие раньше экрана.
Показать классу
Выберите масштаб и длину отрезка на карте —
внизу видно, сколько это на земле.
5 из 7
Проверьте себя
Пять вопросов по разобранному, с объяснением
к каждому ответу.
Показать классу
6 из 7
Главное
Пропорция — равенство двух отношений.
Произведение крайних равно произведению средних.
Неизвестное = произведение известных : оставшийся множитель.
Масштаб 1 : n — в 1 см карты n см местности.
С карты на местность умножаем, обратно — делим.
7 из 7
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.