Модуль — это расстояние от числа до нуля. Одно слово, из которого следует всё остальное: и почему модуль не бывает отрицательным, и почему корней два.
Модуль — это расстояние
$|{-7}| = 7$ · $|7| = 7$
Сколько шагов от числа до нуля? От $-7$ — семь.
От $7$ — тоже семь.
Расстояние не бывает отрицательным, поэтому
и модуль не бывает: $|a| \ge 0$ всегда.
«Модуль равен $-5$» — невозможный ответ,
как «расстояние до школы минус километр».
Что спросить у класса
Чему равен $|{-12}|$?
А $|0|$?
Может ли модуль быть отрицательным?
1 из 7
У противоположных модуль общий
$|a| = |-a|$
Противоположные числа стоят по разные стороны нуля,
но на одинаковом расстоянии.
Значит модуль у них один и тот же.
Следите, где стоит минус: $|{-6}| = 6$,
а $-|{-6}| = -6$. Минус снаружи модуля никуда не девается.
Что спросить у класса
Чему равно $-|{-6}|$?
У каких чисел модуль равен 8?
Может ли у двух разных чисел быть один модуль?
2 из 7
Почему корня два
$|x| = 6$ → $x = 6$ или $x = -6$
Вопрос «какое число стоит в шести шагах от нуля»
имеет два ответа: шесть вправо и шесть влево.
$|x| = c$ при $c > 0$ даёт два корня: $c$ и $-c$.
Особые случаи: $|x| = 0$ даёт один корень — ноль,
а $|x| = -3$ не даёт ни одного: расстояние не бывает отрицательным.
Что спросить у класса
Сколько корней у $|x| = 10$?
А у $|x| = 0$?
А у $|x| = -2$?
3 из 7
Зачем модуль на практике
расстояние между точками $= |a - b|$
Расстояние между двумя точками прямой — модуль
их разности. Порядок при этом не важен, и ответ всегда
положительный.
От $-3$ до $5$: $|{-3} - 5| = 8$.
Отсюда же приём сравнения: из двух отрицательных
больше то, у которого модуль меньше — оно ближе к нулю.
Что спросить у класса
Найдите расстояние от $-4$ до $6$.
Изменится ли ответ, если поменять числа местами?
Что больше: $-3$ или $-8$?
4 из 7
Посмотрим на прямой
Двигаем точку и следим за расстоянием до нуля.
Пусть класс называет модуль раньше экрана.
Показать классу
Двигайте точку и следите за длиной отрезка до нуля.
Это и есть модуль.
−6
модуль |a|
6
противоположное −a
6
5 из 7
Проверьте себя
Вопросы по разобранному, с объяснением
к каждому ответу.
Показать классу
6 из 7
Главное
Модуль — расстояние до нуля, поэтому он неотрицателен.
$|a| = |-a|$: у противоположных чисел модуль общий.
$|x| = c$ при $c > 0$ даёт два корня: $c$ и $-c$.
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
Расстояние между точками $= |a - b|$.
7 из 7
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.