У фигуры с кривой границей площадь по клеткам не сосчитать точно — её оценивают. А для круга нашли точную формулу, и в ней появляется число, которого раньше не было.
Оценка снизу и сверху
целые клетки внутри ≤ площадь ≤ все задетые
Обведём круг по клетчатой бумаге. Клетки, целиком
лежащие внутри, дают оценку снизу. Все задетые клетки —
оценку сверху.
Настоящая площадь лежит между этими числами.
Складывать оценки нельзя: они не части
площади, а её границы. Ответ — промежуток, а не сумма.
Что спросить у класса
Какая оценка меньше — снизу или сверху?
Что будет с оценками, если взять клетки мельче?
Можно ли так оценить площадь озера на карте?
1 из 6
Откуда взялось число π
длина окружности : диаметр $\approx 3{,}14$ — всегда
Обмотайте ниткой банку, измерьте нитку и диаметр,
разделите одно на другое. Возьмите банку другого размера —
и получите то же число.
Это отношение одинаково у всех окружностей.
Его обозначили греческой буквой $\pi pprox 3{,}14$.
Точно записать $\pi$ дробью нельзя: цифры после
запятой не кончаются и не повторяются. Поэтому и пишут $pprox$.
Что спросить у класса
Что получится, если поделить длину окружности на диаметр?
Зависит ли это число от размера круга?
Почему пишут «приблизительно равно»?
2 из 6
Две формулы, и их путают
$C = 2\pi r$ — линия · $S = \pi r^2$ — площадь
Длина окружности: $C = \pi d = 2\pi r$ — в сантиметрах.
Площадь круга: $S = \pi r^2$ — в квадратных сантиметрах.
Посчитать площадь как $2\pi r$ — самая частая
ошибка. Единицы выдают её сразу: в площади должен стоять квадрат,
а значит и радиус в квадрате.
И следите, что дано: если известен диаметр,
радиус вдвое меньше. Подставить диаметр вместо радиуса —
ошибиться вчетверо.
Что спросить у класса
Какая формула даёт длину, а какая площадь?
Диаметр 10 см — чему равен радиус?
Как по единицам понять, что перепутали формулу?
3 из 6
Оценим и посчитаем
Считаем клетки и сравниваем с формулой. Пусть класс
назовёт оценку раньше, чем появится точный ответ.
Показать классу
Синим закрашены клетки целиком внутри круга,
бледным — те, которых он только касается.
4
снизу: целые внутри
0
формула πr²
0
сверху: все задетые
0
4 из 6
Проверьте себя
Вопросы по разобранному, с объяснением
к каждому ответу.
Показать классу
5 из 6
Главное
$C = \pi d = 2\pi r$ — длина окружности, в см.
$S = \pi r^2$ — площадь круга, в см².
$\pi pprox 3{,}14$; $r = d : 2$.
Оценка по клеткам: снизу — целые внутри, сверху — все задетые.
Окружность — линия, круг — то, что она ограничивает.
6 из 6
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.