Математика 7–9 класс /
Алгебра 7 класс /
График y=|x|
Теория · График y = |x|
График функции $y = |x|$
Что такое модуль, как выглядит график $y = |x|$, где у него вершина,
как сдвигать график $y = |x - h| + k$, находить наименьшее значение
и решать уравнение $|x - h| = c$. С примерами и частыми ошибками.
Пройти тему целиком
График y = |x|
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Что такое модуль
Определение
Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой.
Он никогда не бывает отрицательным.
$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
Пример
$|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.
Раздел 2
График $y = |x|$
График $y = |x|$ — это «галочка» из двух лучей, выходящих из начала координат.
При $x \ge 0$ это прямая $y = x$, при $x < 0$ — прямая $y = -x$.
Вершина графика — точка $(0;\,0)$.
График симметричен относительно оси $Oy$.
Значения $y$ всегда неотрицательны: $y \ge 0$.
Пример
$y = |x|$. При $x = -3$: $y = |-3| = 3$; при $x = 4$: $y = 4$.
Раздел 3
Сдвиги графика
График $y = |x - h| + k$ — это «галочка», сдвинутая так, что её вершина
оказывается в точке $(h;\,k)$.
$h$ сдвигает график вправо (если $h > 0$) или влево (если $h < 0$).
$k$ сдвигает график вверх (если $k > 0$) или вниз (если $k < 0$).
Пример
$y = |x - 2| + 1$. Вершина в точке $(2;\,1)$.
Чтобы найти $h$, приравняйте выражение под модулем к нулю: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Раздел 4
Наименьшее значение
Так как модуль не бывает отрицательным, наименьшее значение функции
$y = |x - h| + k$ достигается в вершине и равно $k$.
Пример
$y = |x - 1| + 2$. Наименьшее значение равно $2$ (при $x = 1$).
Раздел 5
Уравнение $|x - h| = c$
Если $c > 0$, уравнение $|x - h| = c$ имеет два корня:
$x = h + c$ и $x = h - c$. Если $c = 0$ — один корень $x = h$, если $c < 0$ — корней нет.
Пример
$|x - 2| = 3 \Rightarrow x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$, то есть $x = 5$ или $x = -1$.
Раздел 6
Частые ошибки
Считают, что $|x|$ может быть отрицательным — нет, всегда $\ge 0$.
В уравнении $|x - h| = c$ находят только один корень из двух.
Путают направление сдвига: $|x - 2|$ сдвигает вправо, а не влево.
Думают, что $|-x| = -x$ — на самом деле $|-x| = |x|$.
Раздел 7
Шпаргалка
$|x| \ge 0$ всегда; $|x|$ — расстояние до нуля.
График $y = |x|$ — «галочка» с вершиной $(0;\,0)$.
$y = |x - h| + k$ — вершина в $(h;\,k)$.
Наименьшее значение $= k$.
$|x - h| = c$ при $c > 0$: $x = h \pm c$ (два корня).
↑ Наверх
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема «График y = |x|» закрепится надёжно.