Когда число делится на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25 без проверки делением, что такое простые числа и разложение на множители, как находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). С примерами, таблицами и разбором ошибок.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Число $a$ делится на число $b$ (без остатка), если найдётся целое число, при умножении на которое $b$ даёт $a$. Тогда $b$ называют делителем числа $a$, а $a$ — кратным числа $b$.
Например, $12$ делится на $3$, потому что $12 = 3\cdot 4$. Значит, $3$ — делитель числа $12$, а $12$ — кратное числа $3$. Делители числа $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Кратные числа $3$: $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ — их бесконечно много.
Признак делимости позволяет узнать, делится ли число, не выполняя само деление.
| На что | Признак | Пример |
|---|---|---|
| на $2$ | последняя цифра чётная ($0,2,4,6,8$) | $354$ — да, $357$ — нет |
| на $5$ | последняя цифра $0$ или $5$ | $130, 245$ — да |
| на $10$ | последняя цифра $0$ | $170$ — да, $175$ — нет |
| на $4$ | число из двух последних цифр делится на $4$ | $1\underline{16}$: $16:4=4$ — да |
| на $25$ | две последние цифры $00, 25, 50, 75$ | $375$ — да |
| на $3$ | сумма цифр делится на $3$ | $471$: $4+7+1=12$ — да |
| на $9$ | сумма цифр делится на $9$ | $522$: $5+2+2=9$ — да |
Делится ли $1\,260$ на $2$, $3$, $5$, $9$? Последняя цифра $0$ → делится на $2$, $5$ и $10$. Сумма цифр $1+2+6+0=9$ → делится на $3$ и на $9$.
Простое число имеет ровно два делителя — $1$ и само себя. Составное число имеет больше двух делителей. Число $1$ не считают ни простым, ни составным.
Простые числа до $30$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$. Число $2$ — единственное чётное простое число.
$15$ — составное ($15 = 3\cdot 5$, делители $1,3,5,15$). $17$ — простое (делится только на $1$ и $17$).
Любое составное число можно единственным образом записать в виде произведения простых чисел. Это и есть разложение на простые множители — основа для поиска НОД и НОК.
Делим число на наименьший простой делитель, пока не дойдём до $1$:
$360 = 2\cdot 180 = 2\cdot 2\cdot 90 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 45 = 2^3\cdot 3^2\cdot 5$.
НОД двух чисел — самое большое число, на которое делится каждое из них.
Чтобы найти НОД, раскладываем числа на простые множители и берём общие множители в наименьших степенях.
Найдём НОД$(24, 36)$.
$24 = 2^3\cdot 3$, $36 = 2^2\cdot 3^2$.
Общие множители: $2$ (в меньшей степени $2^2$) и $3$ (в степени $3^1$).
НОД$= 2^2\cdot 3 = 12$.
НОК двух чисел — самое маленькое число, которое делится на каждое из них.
Чтобы найти НОК, берём все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении, в наибольших степенях.
Найдём НОК$(24, 36)$.
$24 = 2^3\cdot 3$, $36 = 2^2\cdot 3^2$.
Берём $2$ в большей степени $2^3$ и $3$ в большей степени $3^2$.
НОК$= 2^3\cdot 3^2 = 72$.
Для любых двух натуральных чисел произведение их НОД и НОК равно произведению самих чисел:
Поэтому, зная НОД, можно быстро найти НОК (и наоборот):
Для $24$ и $36$: НОД$=12$, НОК$=72$. Проверим: $12\cdot 72 = 864$ и $24\cdot 36 = 864$. Совпало.
Чтобы сократить дробь до несократимой, делим числитель и знаменатель на их НОД: $\dfrac{24}{36}=\dfrac{24:12}{36:12}=\dfrac{2}{3}$.
При сложении дробей общий знаменатель — это НОК знаменателей: $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}$: НОК$(6,4)=12$, значит $\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{12}$.
Автобус приходит каждые $12$ минут, троллейбус — каждые $8$ минут. Они пришли вместе. Через сколько минут снова встретятся? Ответ — НОК$(12,8)=24$ минуты.