Что такое система двух уравнений с двумя неизвестными и как её решать:
методы подстановки, сложения и сравнения. С алгоритмами, примерами
и разбором особых случаев.
Пройти тему целиком
Системы линейных уравнений
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными — это пара уравнений,
записанная фигурной скобкой. Решение — пара чисел $(x;\,y)$, которая обращает
оба уравнения в верные равенства.
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$
Есть три основных способа решения: подстановка, сложение и сравнение.
Выбирают тот, который для данной системы удобнее.
Раздел 2
Метод подстановки
Выразите одну переменную через другую из одного уравнения.
Подставьте это выражение во второе уравнение.
Решите уравнение с одной переменной, затем найдите вторую.
Пример
$\begin{cases} y = x + 1 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$
$2x + (x + 1) = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, тогда $y = 3$.
Ответ: $(2;\,3)$.
Удобно, когда в одном уравнении переменная уже выражена
или коэффициент равен $1$.
Раздел 3
Метод сложения
Подберите множители так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали
противоположными.
Сложите уравнения — эта переменная исчезнет.
Найдите оставшуюся переменную, затем вторую.
Пример
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Сложим: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$, тогда $y = 2$.
Ответ: $(3;\,2)$.
Раздел 4
Метод сравнения
Выразите одну и ту же переменную из обоих уравнений и приравняйте полученные выражения.
Пример
$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = x + 3 \end{cases}$
$2x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4$, тогда $y = 7$.
Ответ: $(4;\,7)$.
Раздел 5
Особые случаи
Одно решение. Прямые пересекаются — обычный случай.
Нет решений. Прямые параллельны: при исключении переменной получается
неверное равенство (например $0 = 4$).
Бесконечно много решений. Уравнения задают одну прямую: получается
верное равенство $0 = 0$.
Раздел 6
Частые ошибки
Находят только $x$ и забывают вычислить $y$.
При сложении забывают сложить и правые части уравнений.
Ошибаются со знаком при выражении переменной.
Не проверяют пару $(x;\,y)$ подстановкой в оба уравнения.
Раздел 7
Шпаргалка
Решение системы — пара $(x;\,y)$, верная для обоих уравнений.
Подстановка: выразил → подставил → решил.
Сложение: уравнял коэффициенты по модулю → сложил → одна переменная ушла.
Сравнение: приравнял два выражения для одной переменной.
$0 = 0$ — решений бесконечно; $0 = $ число — решений нет.
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема «Системы линейных уравнений» закрепится надёжно.