Теория · Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Что такое степень $a^n$, как её вычислять, какие есть свойства степеней (умножение, деление, степень степени) и как сравнивать степени. С примерами и частыми ошибками.

Пройти тему целиком

Степень с натуральным показателем

Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что такое степень 2 Как вычислять степень 3 Умножение и деление степеней 4 Степень степени 5 Сравнение степеней 6 Частые ошибки 7 Шпаргалка

Раздел 1

Что такое степень

Определение

Степень $a^n$ (где $n$ — натуральное число, $n > 1$) — это произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ называют основанием степени, $n$ — показателем степени.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множителей}}$

Отдельно: $a^1 = a$, а любое число (кроме нуля) в степени с показателем $1$ равно самому себе.

Пример

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Здесь основание $2$, показатель $3$.

Раздел 2

Как вычислять степень

Чтобы вычислить степень, перемножьте основание само на себя столько раз, сколько указывает показатель.

Пример

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$; $\;5^2 = 25$; $\;2^4 = 16$; $\;10^3 = 1000$.

Степень отрицательного числа: $(-2)^3 = -8$ (нечётный показатель — знак минус), а $(-2)^2 = 4$ (чётный показатель — результат положительный).

Запомни: $a^2$ читается «$a$ в квадрате», $a^3$ — «$a$ в кубе».

Раздел 3

Умножение и деление степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = a^{m-n}$

Пример

$a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^{8}$; $\quad a^7 : a^2 = a^{7-2} = a^{5}$.

Эти правила работают только при одинаковом основании. $a^m \cdot b^n$ так упростить нельзя.

Раздел 4

Степень степени

Чтобы возвести степень в степень, показатели перемножают:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^{6}$; $\quad (3^2)^2 = 3^{4} = 81$.

Полезно также: $(ab)^n = a^n b^n$ — степень произведения равна произведению степеней.

Раздел 5

Сравнение степеней

Чтобы сравнить две степени, удобно вычислить их значения и сравнить числа.

Пример

Что больше: $2^4$ или $3^2$? $\;2^4 = 16$, $\;3^2 = 9$. Значит $2^4 > 3^2$.

При одинаковом основании $a > 1$ больше та степень, у которой больше показатель: $2^5 > 2^3$.

Раздел 6

Частые ошибки

Путают $a^n$ с $a \cdot n$: $2^3 = 8$, а не $2 \cdot 3 = 6$.

При умножении степеней показатели не складывают, а ошибочно перемножают.

Забывают про знак: $(-3)^2 = 9$, а не $-9$.

Применяют свойства к степеням с разными основаниями.

Раздел 7

Шпаргалка

$a^n$ — произведение $n$ множителей $a$.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (умножение — показатели складываем).
$a^m : a^n = a^{m-n}$ (деление — показатели вычитаем).
$(a^m)^n = a^{mn}$ (степень степени — показатели умножаем).
$(-a)^n$: чётный $n$ — плюс, нечётный $n$ — минус.

↑ Наверх

Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Что такое степень

Как вычислять степень

Умножение и деление степеней

Степень степени

Сравнение степеней

Частые ошибки

Шпаргалка

Закрепите тему на практике