Что такое отношение и пропорция, чем прямая пропорциональность отличается от обратной,
как находить коэффициент и решать пропорции крест-накрест. Масштаб карты, расход
продуктов, работа и движение — с примерами и разбором частых ошибок.
Пройти тему целиком
Прямая и обратная пропорциональность
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Отношение двух чисел — это их частное $a:b=\dfrac{a}{b}$, показывающее, во сколько раз
одно число больше другого. Пропорция — это равенство двух отношений: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
Читается пропорция так: «$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$». Числа $a$ и $d$ называют
крайними членами, а $b$ и $c$ — средними.
Пример
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ — верная пропорция: оба отношения равны (каждое можно сократить до $\tfrac{2}{3}$).
Здесь крайние члены — $2$ и $12$, средние — $3$ и $8$.
Раздел 2
Основное свойство пропорции
Главное правило, которым решают почти все задачи на пропорции:
Если $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то $a\cdot d = b\cdot c$
Произведение крайних членов равно произведению средних. Это правило часто называют
«умножением крест-накрест».
Решим $\dfrac{x}{6}=\dfrac{10}{4}$.
Крест-накрест: $x\cdot 4 = 6\cdot 10$, то есть $4x = 60$.
Значит $x = \dfrac{60}{4} = 15$.
Неизвестное может стоять на любом месте — правило одно: умножаем по диагонали через
известные числа, делим на третье.
Раздел 4
Прямая пропорциональность
Определение
Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая
увеличивается во столько же раз. Их отношение постоянно: $\dfrac{y}{x}=k$.
Число $k$ называют коэффициентом пропорциональности. Зависимость задаётся формулой
$y = kx$.
Пример
$1$ кг конфет стоит $300$ ₽. Сколько стоят $4$ кг? Цена и количество — прямо пропорциональны:
больше килограммов → во столько же раз больше денег. $300\cdot 4 = 1200$ ₽.
Признак прямой пропорциональности: «больше → больше», «меньше → меньше» в одно и то же число раз.
Раздел 5
Обратная пропорциональность
Определение
Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая
во столько же раз уменьшается. Их произведение постоянно: $x\cdot y = k$.
Зависимость задаётся формулой $y = \dfrac{k}{x}$. Например, чем больше рабочих, тем
меньше времени на ту же работу.
Пример
$3$ рабочих красят забор за $8$ часов. За сколько часов покрасят $6$ рабочих?
Рабочих стало в $2$ раза больше → времени в $2$ раза меньше: $8:2 = 4$ часа.
Проверка через произведение: $3\cdot 8 = 24$ и $6\cdot 4 = 24$ — постоянно.
При обратной пропорциональности нельзя составлять пропорцию «в лоб» $\tfrac{3}{6}=\tfrac{8}{x}$.
Сначала нужно «перевернуть» одно отношение — об этом ниже.
Раздел 6
Как отличить прямую от обратной
Спросите себя: «если одна величина растёт, что происходит со второй?»
Прямая
Обратная
Поведение
больше → больше
больше → меньше
Что постоянно
отношение $\tfrac{y}{x}=k$
произведение $xy=k$
Формула
$y=kx$
$y=\tfrac{k}{x}$
Примеры
цена и количество, путь и время при одной скорости
скорость и время, число рабочих и срок
Способ решения обратной задачи: при составлении пропорции одно из отношений
записывают «вверх ногами». Для задачи про рабочих: $\dfrac{3}{6}=\dfrac{x}{8}$ (перевернули отношение времён),
тогда $6x = 24$, $x = 4$.
Прямая — отношения «в одну сторону»; обратная — одно отношение переворачиваем.
Раздел 7
Масштаб, рецепт, работа, движение
Масштаб карты
Масштаб $1:100\,000$ означает: $1$ см на карте — это $100\,000$ см $=1$ км на местности.
Расстояние на местности и на карте — прямо пропорциональны.
Пример
Масштаб $1:50\,000$. На карте $3$ см. На местности: $3\cdot 50\,000 = 150\,000$ см $=1{,}5$ км.
Рецепт и расход
Если на $4$ порции нужно $200$ г муки, то на $6$ порций (прямая пропорциональность):
$\dfrac{200}{4}\cdot 6 = 300$ г.
Работа
Число рабочих и время — обратно пропорциональны (работа одна и та же).
Движение
При постоянном пути скорость и время обратно пропорциональны: $v\cdot t = S$.
Вдвое быстрее — вдвое меньше времени.
Раздел 8
Частые ошибки
Решают обратную задачу как прямую. Если «больше → меньше», нельзя ставить
знак равенства между отношениями напрямую — одно надо перевернуть.
Путают крайние и средние члены. Произведение крайних равно произведению средних, а не наоборот по диагонали.
При делении забывают, на что делить. После «крест-накрест» делят на множитель, стоящий рядом с неизвестным.
В масштабе путают сантиметры и метры. $1:100\,000$ — это сантиметры; переводите в км аккуратно.
Раздел 9
Шпаргалка
Пропорция: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ ⇒ $a\cdot d = b\cdot c$ (крест-накрест).
Неизвестное: $x=\dfrac{b\cdot c}{d}$ — умножаем по диагонали, делим на третье.
Прямая: «больше → больше», $y=kx$, постоянно $\tfrac{y}{x}=k$.
Обратная: «больше → меньше», $y=\tfrac{k}{x}$, постоянно $xy=k$.
Обратную задачу решаем, перевернув одно из отношений.
Масштаб $1:n$ — во сколько раз карта меньше местности.
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так пропорции и пропорциональность закрепятся надёжно.