Теория · Формулы сокращённого умножения

★ База для ОГЭ

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Как применять формулы для быстрого раскрытия скобок и устного счёта. С примерами, таблицами и разбором частых ошибок.

Пройти тему целиком

Формулы сокращённого умножения

Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Три главные формулы 2 Квадрат суммы 3 Квадрат разности 4 Разность квадратов 5 Устный счёт 6 Частые ошибки 7 Шпаргалка 8 Разбор каждой формулы отдельно

Раздел 1

Три главные формулы

Формулы

Формулы сокращённого умножения позволяют раскрывать скобки сразу, без перемножения каждого члена. Их нужно знать наизусть.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Эти же формулы работают «в обе стороны»: их применяют и для раскрытия скобок, и для разложения на множители.

Раздел 2

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Пример

$(x + 3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
$(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$.

Не забывайте про средний член $2ab$: $(x+3)^2 \ne x^2 + 9$.

Подробный разбор: квадрат суммы → картинка, тренажёр и задачи с ответами

Раздел 3

Квадрат разности

Отличается от квадрата суммы только знаком среднего члена.

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Пример

$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$.
$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Последний член $b^2$ всегда со знаком «плюс» — ведь квадрат любого числа неотрицателен.

Подробный разбор: квадрат разности → откуда минус в середине и плюс в конце

Раздел 4

Разность квадратов

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Пример

$(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$.
$(2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9$.

Среднего члена здесь нет: $+ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются.

Подробный разбор: разность квадратов → как раскладывать на множители и считать устно

Раздел 5

Устный счёт по формулам

Формулы удобно применять для быстрых вычислений с числами.

Пример

$51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.
$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$.

Подбирайте «круглое» число рядом ($50$, $100$, $200$) — так считать проще.

Раздел 6

Частые ошибки

Пишут $(a+b)^2 = a^2 + b^2$, забывая про удвоенное произведение $2ab$.

Путают знак среднего члена в квадрате разности.

При $(2x+5)^2$ забывают возвести в квадрат коэффициент: $4x^2$, а не $2x^2$.

В разности квадратов «дописывают» лишний средний член.

Раздел 7

Шпаргалка

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — квадрат суммы.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — квадрат разности.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ — разность квадратов.
Средний член $2ab$ нельзя терять (кроме разности квадратов).
Коэффициенты тоже возводятся в квадрат: $(2x)^2 = 4x^2$.

↑ Наверх

Раздел 8

Разбор каждой формулы отдельно

Эта страница даёт всю тройку сразу — так удобно повторять перед контрольной. Если же буксует одна конкретная формула, откройте её разбор: там объяснение «почему так», картинка, тренажёр со случайными числами и задачи с ответами.

Квадрат суммы

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Откуда берётся удвоенное произведение и почему его теряют чаще всего.

Квадрат разности

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Где стоит минус, а где плюс, и почему $(3-x)^2 = (x-3)^2$.

Разность квадратов

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Раскладываем на множители и считаем в уме: $49\cdot51$.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для заданий №8 и 20 ОГЭ

Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.

Тренироваться по теме Тренировать задание №8 ОГЭ

Закрепите тему на практике

Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест с автоматической проверкой — так тема «Формулы сокращённого умножения» закрепится надёжно.

📝 Домашняя работа ✅ Проверить тему для ОГЭ