Математика 7–9 класс /
Алгебра 7 класс /
Формулы сокращённого умножения
Теория · Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения
Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Как применять формулы
для быстрого раскрытия скобок и устного счёта. С примерами, таблицами
и разбором частых ошибок.
Пройти тему целиком
Формулы сокращённого умножения
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Три главные формулы
Формулы
Формулы сокращённого умножения позволяют раскрывать скобки сразу, без перемножения
каждого члена. Их нужно знать наизусть.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Эти же формулы работают «в обе стороны»: их применяют и для
раскрытия скобок, и для разложения на множители.
Раздел 2
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное
произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Пример
$(x + 3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Не забывайте про средний член $2ab$: $(x+3)^2 \ne x^2 + 9$.
Раздел 3
Квадрат разности
Отличается от квадрата суммы только знаком среднего члена.
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Пример
$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$.
Последний член $b^2$ всегда со знаком «плюс» — ведь квадрат
любого числа неотрицателен.
Раздел 4
Разность квадратов
Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Пример
$(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$.
Среднего члена здесь нет: $+ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются.
Раздел 5
Устный счёт по формулам
Формулы удобно применять для быстрых вычислений с числами.
Пример
$51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.
Подбирайте «круглое» число рядом ($50$, $100$, $200$) — так считать проще.
Раздел 6
Частые ошибки
Пишут $(a+b)^2 = a^2 + b^2$, забывая про удвоенное произведение $2ab$.
Путают знак среднего члена в квадрате разности.
При $(2x+5)^2$ забывают возвести в квадрат коэффициент: $4x^2$, а не $2x^2$.
В разности квадратов «дописывают» лишний средний член.
Раздел 7
Шпаргалка
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — квадрат суммы.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — квадрат разности.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ — разность квадратов.
Средний член $2ab$ нельзя терять (кроме разности квадратов).
Коэффициенты тоже возводятся в квадрат: $(2x)^2 = 4x^2$.
↑ Наверх
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема «Формулы сокращённого умножения» закрепится надёжно.