Что такое смежные углы и почему их сумма равна $180°$, что такое
вертикальные углы и почему они равны, какие углы получаются при
пересечении двух прямых и что такое перпендикулярные прямые.
Пройти тему целиком
Смежные и вертикальные углы
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие
являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию).
Углы $1$ и $2$ — смежные: сторона $OC$ общая, $OA$ и $OB$ — одна прямая.
Раздел 2
Сумма смежных углов
Свойство
Сумма смежных углов равна $180°$ (потому что вместе они составляют
развёрнутый угол).
$\angle 1 + \angle 2 = 180°$
Отсюда, зная один из смежных углов, легко найти второй: нужно вычесть
известный угол из $180°$.
Пример
Один из смежных углов равен $70°$. Тогда второй равен
$180° - 70° = 110°$.
Если два смежных угла равны, то каждый из них равен $90°$ (прямой угол).
Раздел 3
Вертикальные углы
Определение
Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного являются
продолжениями сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых
и лежат «напротив» друг друга.
При пересечении прямых: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.
Свойство
Вертикальные углы равны.
$\angle 1 = \angle 3, \qquad \angle 2 = \angle 4$
Пример
Если $\angle 1 = 50°$, то вертикальный ему $\angle 3 = 50°$.
Раздел 4
Углы при пересечении двух прямых
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть
пары смежных (сумма $180°$) и пары вертикальных (равны). Зная всего один угол,
можно найти все остальные.
$\angle 1 = 65°$. Тогда $\angle 3 = 65°$ (вертикальный),
а $\angle 2 = \angle 4 = 180° - 65° = 115°$ (смежные с $\angle 1$).
Раздел 5
Перпендикулярные прямые
Определение
Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют
прямой угол ($90°$). Обозначают значком $\perp$.
Перпендикулярные прямые: все четыре угла равны $90°$.
Если две прямые перпендикулярны, то все четыре угла при их пересечении прямые — по $90°$.
Раздел 6
Как решать задачи
Найдите на чертеже пересечение прямых и отметьте известный угол.
Вертикальный ему угол равен тому же значению.
Смежные углы найдите вычитанием из $180°$.
Задача
Один из углов при пересечении двух прямых равен $40°$. Найдите остальные три угла.
Вертикальный: $40°$. Два смежных: $180° - 40° = 140°$.
Значит, углы равны $40°,\ 140°,\ 40°,\ 140°$.
Задача с уравнением
Угол на $30°$ больше своего смежного. Найдите больший угол.
Пусть меньший $= x$, тогда больший $= x + 30$. Сумма: $x + (x+30) = 180$,
$2x = 150$, $x = 75$. Больший угол $= 105°$.
Раздел 7
Частые ошибки
Думают, что смежные углы равны — нет, они в сумме дают $180°$ (равны только если оба по $90°$).
Считают, что вертикальные углы в сумме $180°$ — нет, они равны.
Путают смежные и вертикальные углы на чертеже.
Забывают, что у пересечения прямых четыре угла, и находят не все.
Раздел 8
Шпаргалка
Смежные углы: сумма $= 180°$.
Вертикальные углы: равны.
Зная один угол при пересечении прямых, найдёшь все четыре.
Перпендикулярные прямые ($\perp$): все углы по $90°$.