Измерение углов, виды углов

Пройти тему целиком

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что такое угол 2 Обозначение углов 3 Градусная мера и транспортир 4 Виды углов 5 Биссектриса угла 6 Сложение и вычитание углов 7 Точка на отрезке, середина 8 Частые ошибки 9 Шпаргалка

Раздел 1

Что такое угол

Определение

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общую точку — вершиной угла.

Угол с вершиной $O$ и сторонами $OA$ и $OB$.

Угол разбивает плоскость на две части: внутреннюю область (между сторонами) и внешнюю. Развёрнутый угол — это когда стороны лежат на одной прямой и образуют прямую линию.

Раздел 2

Как обозначают углы

Углы обозначают значком $\angle$. Есть три способа записи:

По вершине: $\angle O$ — если из вершины выходит только один угол.
По трём точкам: $\angle AOB$ — буква вершины всегда в середине.
Маленькой буквой или цифрой внутри угла: $\angle 1$, $\angle \alpha$.

Пример

Запись $\angle AOB = 50°$ читается: «угол $AOB$ равен пятидесяти градусам». Здесь $O$ — вершина, $OA$ и $OB$ — стороны.

В записи из трёх букв вершина — это средняя буква. $\angle AOB$ и $\angle BOA$ — это один и тот же угол.

Раздел 3

Градусная мера и транспортир

Углы измеряют в градусах. Один градус — это $\tfrac{1}{180}$ часть развёрнутого угла. Градус обозначают значком $°$. Полный угол (полный оборот) равен $360°$.

$1° = \dfrac{1}{180}$ развёрнутого угла $\quad$ Развёрнутый угол $= 180°$

Как измерять транспортиром

Совместите центр транспортира с вершиной угла.
Совместите нулевую отметку шкалы с одной из сторон угла.
Посмотрите, на какое деление указывает вторая сторона — это и есть мера угла.

Каждый угол имеет единственную градусную меру. Равные углы имеют равные градусные меры, и наоборот.

Раздел 4

Виды углов

Острый, прямой, тупой и развёрнутый углы.

Вид угла	Градусная мера
Острый	меньше $90°$ $\;(0° < \alpha < 90°)$
Прямой	ровно $90°$
Тупой	больше $90°$, но меньше $180°$ $\;(90° < \alpha < 180°)$
Развёрнутый	ровно $180°$
Полный	ровно $360°$

Пример

Угол $\angle AOB = 130°$ — тупой, потому что $90° < 130° < 180°$.

Раздел 5

Биссектриса угла

Определение

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Луч $OC$ — биссектриса угла $AOB$: $\angle AOC = \angle COB$.

Если $OC$ — биссектриса угла $AOB$, то каждый из углов $AOC$ и $COB$ равен половине всего угла:

$\angle AOC = \angle COB = \dfrac{\angle AOB}{2}$

Пример

$OC$ — биссектриса угла $AOB$, $\angle AOB = 80°$. Тогда $\angle AOC = \dfrac{80°}{2} = 40°$.

Раздел 6

Сложение и вычитание углов

Если луч проходит между сторонами угла (внутри него), то весь угол равен сумме двух частей, на которые этот луч его делит.

Луч $OC$ внутри угла $AOB$: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$

Пример сложения

$\angle AOC = 30°$, $\angle COB = 45°$, луч $OC$ внутри угла $AOB$. Тогда $\angle AOB = 30° + 45° = 75°$.

Пример вычитания

$\angle AOB = 90°$, $\angle AOC = 35°$. Тогда $\angle COB = 90° - 35° = 55°$.

Раздел 7

Точка на отрезке и середина

Похожее правило работает и для отрезков. Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ между точками $A$ и $B$, то длина всего отрезка равна сумме частей:

$AB = AC + CB$

Точка $C$ на отрезке $AB$: $AB = AC + CB$.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, которая делит его на два равных отрезка. Если $M$ — середина $AB$, то $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$.

Пример

$M$ — середина отрезка $AB$, $AB = 12$ см. Тогда $AM = MB = \dfrac{12}{2} = 6$ см.

Раздел 8

Частые ошибки

Путают, какая буква в записи $\angle AOB$ обозначает вершину — это всегда средняя буква ($O$).

Складывают углы, когда луч лежит вне угла — формула $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ работает, только если $OC$ внутри.

Считают развёрнутый угол равным $360°$ — на самом деле $180°$, а $360°$ — это полный угол.

Забывают делить пополам при работе с биссектрисой.

Раздел 9

Шпаргалка

$\angle AOB$ — вершина в середине записи.
Острый $< 90°$, прямой $= 90°$, тупой между $90°$ и $180°$, развёрнутый $= 180°$.
Биссектриса делит угол пополам: $\angle AOC = \angle COB = \dfrac{\angle AOB}{2}$.
Луч внутри угла: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
Точка на отрезке: $AB = AC + CB$; середина: $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$.

↑ Наверх

Измерение углов, виды углов