Периметр — это длина границы фигуры, площадь — сколько места она занимает.
Если фигура «сложная», её всегда можно разрезать на прямоугольники или достроить
до большого прямоугольника. Разберём оба приёма по шагам.
Пройти тему целиком
Периметр и площадь составных фигур
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры (длина её границы). Обозначают буквой $P$,
измеряют в единицах длины: см, м.
Площадь
Площадь — это величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости.
Обозначают буквой $S$, измеряют в квадратных единицах: см², м².
Главное не путать: периметр считают в обычных единицах (см), а площадь — в квадратных (см²).
Периметр — «обойти по краю», площадь — «закрасить внутри».
Подсказка по единицам: если в ответе должны быть см² — речь о площади;
если просто см — о периметре.
Раздел 2
Прямоугольник и квадрат
Все составные фигуры в 7 классе складываются из прямоугольников, поэтому начинаем с них.
Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$
$P = 2(a + b), \qquad S = a \cdot b$
Квадрат со стороной $a$
$P = 4a, \qquad S = a^2$
Прямоугольник: $S=a\cdot b$. Квадрат — частный случай, где все стороны равны.
Пример
Прямоугольник $6$ см и $4$ см. $P = 2(6+4) = 20$ см, $S = 6\cdot 4 = 24$ см².
Раздел 3
Площадь способом разбиения
Сложную фигуру можно разрезать на несколько прямоугольников. Тогда площадь всей
фигуры — это сумма площадей кусочков.
$S = S_1 + S_2 + \ldots$
Г-образную фигуру делим линией на два прямоугольника ① и ②, складываем их площади.
Пример
Фигуру разбили на прямоугольники $6\times 3$ и $4\times 5$. Тогда
$S = 6\cdot 3 + 4\cdot 5 = 18 + 20 = 38$ см².
Линию разреза проводи так, чтобы получились именно прямоугольники —
у них площадь считается проще всего.
Раздел 4
Площадь способом вычитания
Иногда удобнее достроить фигуру до большого прямоугольника, а затем вычесть
площадь лишнего куска (выреза).
$S = S_{\text{большой}} - S_{\text{вырез}}$
Из большого квадрата мысленно вычитаем вырезанный прямоугольник.
Пример
Из квадрата со стороной $10$ см вырезали прямоугольник $3$ см $\times$ $4$ см.
$S = 10^2 - 3\cdot 4 = 100 - 12 = 88$ см².
Способы разбиения и вычитания дают один и тот же ответ. Выбирай тот,
где меньше вычислений.
Раздел 5
Периметр составной фигуры
Периметр — это длина границы. Чтобы найти его, нужно «обойти» фигуру по контуру
и сложить длины всех сторон. Внутренние линии разреза в периметр не входят.
Интересный факт про «вырез из угла»: если из квадрата вырезать прямоугольник
в углу, площадь уменьшается, а периметр не меняется. Два новых отрезка, ушедших внутрь,
по длине ровно заменяют две «исчезнувшие» части сторон.
Периметр = сумма длин всех сторон по контуру фигуры.
Пример
Из квадрата со стороной $8$ см вырезали прямоугольник в углу. Периметр получившейся
Г-фигуры по-прежнему равен периметру квадрата: $P = 4\cdot 8 = 32$ см.
Раздел 6
Как решать задачи
Реши, что ищешь: площадь (см²) или периметр (см).
Для площади — выбери способ: разбить на прямоугольники (сложить) или достроить и вычесть.
Найди все нужные стороны: иногда длину достраивают по чертежу (одна сторона = сумма или разность других).
Для периметра — пройди по всему контуру и сложи длины сторон.
Проверь единицы: площадь в квадратных единицах, периметр — в обычных.
Задача
Из квадрата со стороной $12$ см вырезали в углу прямоугольник $5$ см $\times$ $4$ см.
Найдите площадь фигуры.
$S = 12^2 - 5\cdot 4 = 144 - 20 = 124$ см².
Раздел 7
Частые ошибки
Путают периметр и площадь. Периметр — длина границы (см), площадь — место внутри (см²).
Пишут площадь в обычных единицах. Площадь всегда в квадратных единицах: см², м².
При вычитании забывают вычесть вырез и оставляют площадь большого прямоугольника.
Нужно: $S_{\text{большой}} - S_{\text{вырез}}$.
Считают, что при вырезе из угла периметр уменьшается. На самом деле он
не меняется: ушедшие внутрь отрезки заменяют «исчезнувшие».
Добавляют в периметр внутреннюю линию разреза. Линия разреза — вспомогательная,
в контур фигуры она не входит.