Треугольник, у которого две стороны равны. Из этого простого условия вытекает
много полезных свойств: равные углы при основании и «волшебная» высота, которая
сразу и медиана, и биссектриса. Разберём всё по порядку, с чертежами и разбором ошибок.
Пройти тему целиком
Равнобедренный треугольник
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
«Бедро» в старину означало боковую сторону. Поэтому равнобедренный — значит
«с равными боками». Две равные стороны называют боковыми, а третью —
основанием. Основание может быть любым: и длиннее боковых, и короче — это не важно.
Чёрточки (засечки) на сторонах чертежа — это значок «эти стороны равны».
Одинаковое число чёрточек = одинаковая длина.
Раздел 2
Стороны и углы: как называются
Название
Что это
Боковые стороны
две равные стороны
Основание
третья сторона (между боковыми)
Угол при вершине
угол между боковыми сторонами (вверху)
Углы при основании
два угла, прилежащие к основанию (внизу)
Запомни ориентир: угол при вершине «зажат» между равными сторонами,
а углы при основании опираются на основание. Именно углы при основании равны
между собой — об этом следующий раздел.
Раздел 3
Главное свойство: углы при основании равны
Свойство (теорема)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Это самое важное свойство темы. Оно позволяет связать углы: если знаешь один
угол при основании — второй такой же; если знаешь угол при вершине — легко найдёшь
углы при основании через сумму углов треугольника.
угол при основании $=\dfrac{180° - \text{угол при вершине}}{2}$
Пример 1
Угол при вершине равен $40°$. Тогда каждый угол при основании равен
$\dfrac{180° - 40°}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$.
Пример 2
Угол при основании равен $50°$. Второй угол при основании тоже $50°$,
а угол при вершине $180° - 50° - 50° = 80°$.
Не путай: равны углы при основании, а не угол при вершине с углом
при основании. Вершинный угол вообще может сильно отличаться от двух нижних.
Раздел 4
Признак: «если углы равны — стороны равны»
Свойство работает и в обратную сторону. Это называют признаком
равнобедренного треугольника.
Признак (обратная теорема)
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, и равны стороны,
лежащие против этих углов.
Пример
В треугольнике два угла равны по $65°$. Значит, треугольник равнобедренный,
и стороны напротив этих углов равны между собой.
Свойство: равные стороны $\Rightarrow$ равные углы.
Признак: равные углы $\Rightarrow$ равные стороны. Это две стороны одной медали.
Раздел 5
Высота, медиана и биссектриса к основанию
Это «фирменное» свойство равнобедренного треугольника, которое очень любят
на контрольных.
Свойство
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является
одновременно медианой и биссектрисой, проведёнными из той же вершины.
Высота — опускается на основание под прямым углом ($90°$).
Медиана — делит основание пополам (на два равных отрезка).
Биссектриса — делит угол при вершине пополам.
В равнобедренном треугольнике это одна и та же линия из вершины.
Она разрезает треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.
Это свойство верно только для линии к основанию. Высота к боковой
стороне медианой и биссектрисой, вообще говоря, не является.
Раздел 6
Равносторонний — частный случай
Если у треугольника равны все три стороны, он называется
равносторонним (или правильным). Это частный случай равнобедренного:
равны не две, а сразу три стороны.
равносторонний: все стороны равны, все углы по $60°$
Раз все углы равны, а их сумма $180°$, то каждый угол равен
$180° : 3 = 60°$.
Любой равносторонний треугольник — равнобедренный.
Но не наоборот: равнобедренный не обязан быть равносторонним.
Раздел 7
Как решать задачи
Определи по чертежу (засечкам) или условию, какие стороны равны.
Запиши: углы при основании равны между собой.
Если дан угол при вершине — углы при основании ищи по формуле $\dfrac{180° - \alpha}{2}$.
Если дан угол при основании — угол при вершине ищи как $180° - 2\beta$.
Для длин используй: высота к основанию делит его пополам.
Задача 1
В равнобедренном треугольнике угол при вершине $100°$. Найдите углы при основании.
$\dfrac{180° - 100°}{2} = \dfrac{80°}{2} = 40°$. Каждый угол при основании равен $40°$.
Задача 2
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $7$ см, основание $5$ см.
Найдите периметр.
Две боковые равны: $7 + 7 + 5 = 19$ см.
Раздел 8
Частые ошибки
Считают, что в равнобедренном треугольнике равны все углы. Равны только
два угла при основании; угол при вершине обычно другой.
Путают, какие углы равны. Равны углы при основании (нижние),
а не угол при вершине с одним из нижних.
При поиске угла при вершине забывают, что углов при основании
два, и вычитают только один: правильно $180° - 2\beta$, а не $180° - \beta$.
Думают, что высота к боковой стороне тоже делит её пополам. Свойство
«высота = медиана = биссектриса» верно только для линии к основанию.
При счёте периметра берут боковую сторону один раз. Боковых сторон
две, и они равны — обе нужно учесть.
Раздел 9
Шпаргалка
Определение: две стороны равны (боковые), третья — основание.
Свойство: углы при основании равны.
Угол при основании $=\dfrac{180° - \text{угол при вершине}}{2}$.
Угол при вершине $= 180° - 2\cdot(\text{угол при основании})$.
Признак: равны два угла $\Rightarrow$ треугольник равнобедренный.
Высота к основанию = медиана = биссектриса (делит основание и угол пополам).