В каждом треугольнике из вершины можно провести три особых отрезка. Они звучат похоже, но делают разное: один идёт в середину стороны, другой делит угол пополам, третий падает перпендикуляром. Разберём, чем они отличаются и какие у них свойства.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Из любой вершины треугольника можно провести три разных отрезка. У каждого своё «правило», по которому он проводится:
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
У треугольника три медианы — по одной из каждой вершины. Замечательно, что все три пересекаются в одной точке. Эту точку обозначают $G$ и называют точкой пересечения медиан (центром тяжести треугольника).
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
То есть от вершины до точки $G$ — две части, а от точки $G$ до середины стороны — одна часть. Значит, $AG = \dfrac{2}{3}$ всей медианы, а $GM = \dfrac{1}{3}$ всей медианы.
Медиана $BM = 9$ см. Тогда $BG = \dfrac{2}{3}\cdot 9 = 6$ см, а $GM = \dfrac{1}{3}\cdot 9 = 3$ см. Проверка: $6 : 3 = 2 : 1$. ✓
Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол при вершине пополам и идёт до противоположной стороны.
Главное свойство простое: биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен некоторому числу градусов, то каждая половинка вдвое меньше.
$CL$ — биссектриса угла $C$, причём $\angle C = 70°$. Тогда каждая половина равна $\dfrac{70°}{2} = 35°$, то есть $\angle BCL = \angle LCA = 35°$.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или на её продолжение).
Главное в высоте — прямой угол ($90°$) с той стороной, на которую она опущена. Из-за этого появляется прямоугольный треугольник, и сумма двух острых углов в нём равна $90°$.
В треугольнике $ABC$ угол $A = 60°$. Высота $BH$ опущена на сторону $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $H = 90°$, поэтому $\angle ABH = 90° - 60° = 30°$.
Обычно эти три отрезка — разные. Но в особых треугольниках они «склеиваются» в один.
В равнобедренном треугольнике отрезок, проведённый из вершины (между равными сторонами) к основанию, одновременно является и медианой, и биссектрисой, и высотой.
То есть один и тот же отрезок делит основание пополам, делит угол при вершине пополам и перпендикулярен основанию. В равностороннем треугольнике это верно для всех трёх вершин.
| Отрезок | Что делает | Куда идёт |
|---|---|---|
| Медиана | делит сторону пополам | в середину стороны |
| Биссектриса | делит угол пополам | до противоположной стороны |
| Высота | образует прямой угол | перпендикулярно стороне |
Медианы треугольника пересекаются в точке $G$. Медиана $AM = 12$ см. Найдите $AG$ и $GM$.
$AG = \dfrac{2}{3}\cdot 12 = 8$ см, $GM = \dfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$ см.
$BL$ — биссектриса угла $B$, $\angle ABL = 28°$. Найдите угол $B$.
Биссектриса делит угол пополам, поэтому весь угол вдвое больше: $\angle B = 2\cdot 28° = 56°$.