Главное правило всей геометрии треугольника: три угла любого треугольника
в сумме дают $180°$. Разберём, почему это так, как находить недостающий угол,
что такое внешний угол и какие треугольники бывают по углам.
Пройти тему целиком
Сумма углов треугольника
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Сумма трёх внутренних углов любого треугольника равна $180°$.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$
Это правило работает для любого треугольника: большого и маленького,
остроугольного и тупоугольного. Форма не важна — сумма всегда ровно $180°$,
то есть угол развёрнутой прямой («плоский» угол).
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ — для любого треугольника.
Если знаешь два угла треугольника — третий находится всегда:
вычитаем сумму двух известных из $180°$.
Раздел 2
Почему получается ровно $180°$
Опыт с бумагой. Вырежи из бумаги любой треугольник и оторви
три его уголка. Если приложить их вершинами к одной точке, они сложатся в
прямую линию — без зазоров и нахлёстов. А развёрнутый угол (прямая) — это $180°$.
Попробуй с разными треугольниками: результат всегда один.
Строгое объяснение. Через вершину $C$ проведём прямую,
параллельную основанию $AB$. Тогда углы $A$ и $B$ «переносятся» наверх к точке $C$
как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Вместе с самим углом $C$ они
образуют развёрнутый угол вдоль прямой — то есть $180°$.
Через вершину $C$ проведена прямая ∥ $AB$. Сверху рядом стоят углы $A$, $C$, $B$
и вместе дают развёрнутый угол $180°$.
Главное, что нужно запомнить из доказательства: три угла треугольника
всегда «укладываются» в прямую. Поэтому их сумма постоянна.
Раздел 3
Как найти третий угол
Самая частая задача по теме: известны два угла, нужно найти третий.
Просто вычитаем их сумму из $180°$.
$\angle C = 180° - \angle A - \angle B$
Пример 1
Два угла треугольника равны $50°$ и $70°$. Найдём третий:
$180° - 50° - 70° = 60°$.
Пример 2
В треугольнике один угол $90°$, другой $35°$. Третий:
$180° - 90° - 35° = 55°$.
Складывай сначала два известных угла, и только потом вычитай из $180°$.
Так меньше шансов ошибиться в арифметике.
Раздел 4
Виды треугольников по углам
Зная сумму углов, легко понять, какими они могут быть. Сразу важный вывод:
в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов — иначе сумма
уже была бы $180°$ или больше, а ведь остаётся ещё третий угол.
Вид треугольника
Углы
Пример
Остроугольный
все три угла острые (меньше $90°$)
$60°, 70°, 50°$
Прямоугольный
один угол прямой ($90°$)
$90°, 30°, 60°$
Тупоугольный
один угол тупой (больше $90°$)
$120°, 40°, 20°$
В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают $90°$
(потому что $180° - 90° = 90°$). Это пригодится в следующих темах.
Раздел 5
Особые треугольники
Равносторонний треугольник
У него все три стороны равны, значит и все углы равны. Так как их сумма $180°$,
каждый угол равен $180° : 3 = 60°$.
равносторонний: $\angle A = \angle B = \angle C = 60°$
Равнобедренный треугольник
У него равны углы при основании. Если угол при вершине равен $\alpha$,
то каждый угол при основании равен $\dfrac{180° - \alpha}{2}$.
Пример
Угол при вершине $40°$. Углы при основании: $\dfrac{180° - 40°}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$.
Прямоугольный треугольник
Один угол $90°$, поэтому два острых угла в сумме дают $90°$.
Если один острый угол $25°$, то второй равен $90° - 25° = 65°$.
Раздел 6
Внешний угол треугольника
Внешний угол — это угол, смежный с внутренним углом треугольника.
Он получается, если продлить одну из сторон за вершину. Внутренний и внешний углы
при одной вершине вместе дают $180°$ (они смежные).
Свойство внешнего угла
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
(то есть двух «дальних» углов).
$\angle \text{внеш} = \angle A + \angle B$
Внешний угол при вершине $B$ равен $\angle A + \angle C$ (двум несмежным внутренним).
Пример
Два угла треугольника равны $40°$ и $60°$. Внешний угол при третьей вершине равен
$40° + 60° = 100°$.
Проверим: внутренний угол при той вершине $180° - 40° - 60° = 80°$,
а смежный с ним $180° - 80° = 100°$. Совпало.
Раздел 7
Как решать задачи
Выпиши все известные углы из условия и чертежа.
Если ищешь третий угол — сложи два известных и вычти из $180°$.
Если треугольник равнобедренный — помни, что углы при основании равны.
Если есть внешний угол — он равен сумме двух дальних внутренних.
В конце проверь: сумма всех трёх внутренних углов должна получиться $180°$.
Задача
В треугольнике $ABC$ угол $A$ вдвое больше угла $B$, а угол $C = 90°$.
Найдите углы $A$ и $B$.
Острые углы в сумме $90°$: $\angle A + \angle B = 90°$. Пусть $\angle B = x$,
тогда $\angle A = 2x$. Значит $2x + x = 90°$, $3x = 90°$, $x = 30°$.
Ответ: $\angle B = 30°$, $\angle A = 60°$.
Раздел 8
Частые ошибки
Берут сумму углов $360°$ (как у четырёхугольника). У треугольника сумма
углов $180°$, а $360°$ — это у четырёхугольника.
Забывают, что в равнобедренном треугольнике равны углы при основании,
и делят $180°$ поровну между всеми тремя углами.
Считают внешний угол равным третьему внутреннему. На самом деле он равен
сумме двух несмежных (дальних) внутренних углов.
Получают в ответе угол $0°$ или отрицательный — это сигнал, что в условии
или вычислениях ошибка: углы треугольника всегда строго больше $0°$.
Пытаются построить треугольник с двумя прямыми углами. Так нельзя:
$90° + 90° = 180°$, на третий угол уже ничего не остаётся.
Раздел 9
Шпаргалка
Сумма углов: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.
Третий угол: $\angle C = 180° - \angle A - \angle B$.
Равносторонний: каждый угол $60°$.
Равнобедренный: углы при основании равны.
Прямоугольный: два острых угла в сумме $90°$.
Внешний угол = сумма двух несмежных внутренних.
Двух прямых или двух тупых углов в треугольнике быть не может.