Что значит «треугольники равны», как правильно записывать равенство, и три признака, по которым равенство можно доказать: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам и по трём сторонам.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Представь, что ты вырезал из бумаги два треугольника. Если один можно положить на другой так, чтобы они полностью совпали (без зазоров и нахлёстов) — значит, эти треугольники равны. Это как два одинаковых ключа или две копии одной фигуры: одинаковые во всём.
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом совпадут все их соответственные элементы: три стороны и три угла.
Иными словами, у равных треугольников соответственные стороны равны и соответственные углы равны. Равенство треугольников обозначают знаком $=$: запись $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ читается «треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$».
Порядок букв в записи равенства важен: соответственные вершины стоят на одинаковых местах. Если $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то:
Дано $\triangle ABC = \triangle KLM$. Найдём, чему соответствует сторона $BC$.
На вторых местах стоят $B$ и $L$, на третьих — $C$ и $M$. Значит, $BC$ соответствует $LM$, то есть $BC = LM$.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Простыми словами. Возьми два карандаша (это две стороны) и сведи их концами под каким-то углом. Если у другого человека карандаши такой же длины и угол между ними такой же — то и треугольники, которые получатся, если соединить свободные концы, будут одинаковыми. Третью сторону уже не выбрать по-другому.
В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1 = 5$ см, $AC = A_1C_1 = 7$ см и $\angle A = \angle A_1 = 40°$. Угол $A$ заключён между сторонами $AB$ и $AC$, поэтому по первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Простыми словами. Нарисуй отрезок (это сторона) и из двух его концов проведи по лучу под заданными углами. Лучи пересекутся в одной-единственной точке — это и есть третья вершина. У кого отрезок такой же длины и углы при концах такие же — у того получится ровно такой же треугольник.
В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1 = 6$ см, $\angle A = \angle A_1 = 50°$, $\angle B = \angle B_1 = 70°$. Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, значит по второму признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Простыми словами. Из трёх палочек заданной длины можно сложить только один треугольник — по-другому их не соединить. Поэтому, если у двух треугольников одинаковые три стороны, они обязательно равны, даже углы измерять не надо. Кстати, именно из-за этого свойства треугольник такой прочный: его форму невозможно «перекосить», пока стороны на месте — поэтому из треугольников делают каркасы мостов и башен.
В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ все три пары сторон равны: $AB = A_1B_1 = 8$, $BC = B_1C_1 = 6$, $AC = A_1C_1 = 7$. По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, а значит и все углы у них соответственно равны.
Не любой набор равных элементов гарантирует равенство треугольников. Запомните два «обманных» случая:
| Что дано | Достаточно? | Почему |
|---|---|---|
| Две стороны и угол между ними (СУС) | Да | Первый признак |
| Сторона и два прилежащих угла (УСУ) | Да | Второй признак |
| Три стороны (ССС) | Да | Третий признак |
| Сторона и любые два угла | Да | Третий угол найдётся, сводится к УСУ |
| Три угла (УУУ) | Нет | Треугольники лишь подобны: форма та же, размер разный |
| Две стороны и угол против одной из них | Нет | Может получиться два разных треугольника |
У треугольника со сторонами $3, 4, 5$ и у треугольника со сторонами $6, 8, 10$ углы одинаковые (оба прямоугольные с теми же углами). Но второй ровно вдвое больше — наложить их друг на друга нельзя. Значит, одних углов мало: они задают форму, но не размер.
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ — середине каждого из них.
Докажите, что $\triangle AOC = \triangle BOD$.
$AO = OB$ и $CO = OD$ (по условию середина), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные углы).
Это две стороны и угол между ними — по первому признаку треугольники равны.
$\triangle ABC = \triangle KLM$, $\angle A = 55°$, $\angle B = 65°$. Найдите $\angle M$.
$\angle C = 180° - 55° - 65° = 60°$. Вершина $C$ соответствует $M$, значит $\angle M = \angle C = 60°$.