Простое, но важное правило: из трёх любых отрезков треугольник не всегда получится.
Чтобы он «сложился», самая длинная сторона должна быть короче двух других вместе.
Разберём, как это проверять и в каких пределах лежит третья сторона.
Пройти тему целиком
Неравенство треугольника
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
$a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b$
Все три неравенства выполняются одновременно для любого настоящего треугольника.
На практике достаточно проверить самую длинную сторону: если она меньше суммы
двух других — треугольник существует.
Удобное правило: сравни самую большую сторону с суммой двух меньших.
Если большая меньше — всё в порядке, треугольник есть.
Раздел 2
Почему так получается
Идея «пути напрямик». Представь, что нужно дойти из точки $A$ в точку $C$.
Можно идти прямо по отрезку $AC$, а можно сделать крюк через точку $B$.
Путь напрямик всегда короче, чем дорога с поворотом:
$AC < AB + BC$
То есть прямая — самый короткий путь между двумя точками. Поэтому одна сторона
треугольника не может быть длиннее или равна сумме двух других: иначе «крюк»
оказался бы не длиннее прямой, и треугольник «схлопнулся» бы в линию.
Прямой путь $AC$ короче, чем путь через $B$: $AC < AB + BC$.
Раздел 3
Существует ли треугольник с данными сторонами
Чтобы проверить, можно ли построить треугольник из трёх отрезков:
Найди самую длинную сторону.
Сложи две оставшиеся.
Если сумма больше самой длинной — треугольник существует.
Если меньше или равна — нет.
Пример 1
Стороны $3$, $4$, $5$. Самая длинная $5$. Сумма двух других $3 + 4 = 7 > 5$.
Треугольник существует.
Пример 2
Стороны $2$, $3$, $6$. Самая длинная $6$. Сумма двух других $2 + 3 = 5 < 6$.
Треугольник не существует.
Пример 3 (граница)
Стороны $2$, $3$, $5$. Сумма $2 + 3 = 5$, ровно равна третьей. Треугольник
не существует — он «вырождается» в отрезок (неравенство строгое).
Знак строгий: сумма должна быть строго больше. Если получилось ровно
«равно» — треугольника нет, точки лежат на одной прямой.
Раздел 4
В каких пределах лежит третья сторона
Если известны две стороны $a$ и $b$, то третья сторона $c$ не может быть какой угодно.
Она больше их разности и меньше их суммы:
$|a - b| < c < a + b$
Словами: третья сторона больше разности двух данных и меньше их суммы.
Пример
Две стороны равны $4$ и $9$. Тогда третья сторона $c$ удовлетворяет
$9 - 4 < c < 9 + 4$, то есть $5 < c < 13$.
Если в условии $c$ — целое число, подходят $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.
Чтобы не путать: нижняя граница — разность сторон, верхняя — их сумма.
Сама третья сторона строго между ними.
Раздел 5
Против большей стороны лежит больший угол
Свойство
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот:
против большего угла лежит большая сторона.
Это помогает сравнивать углы и стороны без вычислений. Самая длинная сторона
«смотрит» на самый большой угол, самая короткая — на самый маленький.
Пример
В треугольнике стороны $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 9$. Значит, самый большой угол —
против стороны $AC$ (это угол $B$), а самый маленький — против $AB$ (угол $C$).
Запомни связку: больше сторона ⇒ больше противолежащий угол.
Порядок сторон по длине совпадает с порядком противолежащих углов по величине.
Раздел 6
Как решать задачи
«Существует ли треугольник?» — сравни самую длинную сторону с суммой двух других.
«Найди границы третьей стороны» — используй $|a-b| < c < a+b$.
«Сколько целых значений?» — выпиши пределы и сосчитай целые числа строго между ними.
«Сравни углы» — больший угол лежит против большей стороны.
Задача
Две стороны треугольника равны $6$ и $10$. Сколько существует целых значений
третьей стороны?
Границы: $10 - 6 < c < 10 + 6$, то есть $4 < c < 16$.
Целые значения: $5, 6, \ldots, 15$ — всего $11$ значений.
Раздел 7
Частые ошибки
Берут нестрогое неравенство ($\le$). Неравенство треугольника строгое:
при равенстве «треугольник» вырождается в отрезок.
Проверяют только одну пару сторон. Надёжнее всего сравнить
самую длинную сторону с суммой двух других.
Для границ третьей стороны берут сумму как нижнюю границу. Наоборот:
разность — нижняя граница, сумма — верхняя.
Включают концы при подсчёте целых значений. Границы не входят: считаем
целые строго между разностью и суммой.
Считают, что больший угол лежит против меньшей стороны. Наоборот:
больший угол — против большей стороны.
Раздел 8
Шпаргалка
Правило: каждая сторона меньше суммы двух других.
Проверка существования: большая сторона $<$ сумма двух меньших.