Математика 7–9 класс /
Алгебра 8 класс /
Умножение и деление дробей
Теория · Алгебра 8 класс
Умножение и деление алгебраических дробей
Умножать дроби проще, чем складывать: общий знаменатель не нужен.
При делении дробь переворачивают и заменяют деление умножением.
Разбираем оба действия с сокращением, примерами и частыми ошибками.
Пройти тему целиком
Умножение и деление дробей
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Правило умножения
Чтобы умножить дробь на дробь, перемножают отдельно числители и отдельно знаменатели.
Общий знаменатель здесь не нужен .
$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Пример
$\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x^2}{3} = \dfrac{2x^2}{3x} = \dfrac{2x}{3}$.
Удобнее сократить ещё до перемножения — числа получатся меньше.
Раздел 2
Сокращение крест-накрест
При умножении можно сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой —
это законно, ведь всё перемножается.
Пример
$\dfrac{3}{4x} \cdot \dfrac{2x}{9} = \dfrac{3 \cdot 2x}{4x \cdot 9}=\dfrac{6x}{36x}=\dfrac{1}{6}$.
Пример с разностью квадратов
$\dfrac{x^2-9}{5} \cdot \dfrac{5}{x+3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{5}\cdot\dfrac{5}{x+3}=x-3$.
Степени с одинаковым основанием при сокращении вычитаются:
$\dfrac{x^2}{x}=x$.
Раздел 3
Правило деления
Правило
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевёрнутую (обратную) дробь —
поменять у второй дроби местами числитель и знаменатель.
$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$
Переворачивают только вторую дробь — ту, на которую делят.
Первую не трогают.
Раздел 4
Деление: примеры
Числовой пример
$\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$.
С переменной
$\dfrac{6}{x} : \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x}\cdot\dfrac{x}{3}=\dfrac{6x}{3x}=2$.
С разностью квадратов
$\dfrac{x^2-16}{7} : \dfrac{x+4}{7} = \dfrac{(x-4)(x+4)}{7}\cdot\dfrac{7}{x+4}=x-4$.
Раздел 5
Возведение дроби в степень
В степень возводятся и числитель, и знаменатель.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$
Пример
$\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 = \dfrac{4}{x^2}$.
$\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 \ne \dfrac{2}{x^2}$ — двойку тоже нужно возвести в квадрат.
Раздел 6
Как решать: алгоритм
Если деление — переверните вторую дробь и замените на умножение.
Разложите на множители всё, что можно (разность квадратов, общий множитель).
Сократите числители со знаменателями.
Перемножьте оставшееся.
Запишите упрощённый ответ.
При умножении и делении общий знаменатель искать не нужно — это отличие
от сложения и вычитания.
Раздел 7
Частые ошибки
Ищут общий знаменатель при умножении — он не нужен, числители и знаменатели
просто перемножаются.
При делении переворачивают первую дробь вместо второй.
Забывают возвести коэффициент в степень: $\left(\dfrac{2}{x}\right)^2$ пишут как $\dfrac{2}{x^2}$.
Меняют деление на умножение, но не переворачивают дробь.
Не сокращают ответ: оставляют $\dfrac{6x}{36x}$ вместо $\dfrac{1}{6}$.
Раздел 8
Шпаргалка
Умножение: $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$.
Деление: $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$.
Переворачивают только вторую дробь.
Общий знаменатель здесь не нужен.
Сокращай крест-накрест до перемножения.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}$ — в степень идёт всё.
↑ Наверх
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема «Умножение и деление дробей» закрепится надёжно.