Теория · Алгебра 8 класс

Сокращение алгебраических дробей

Что такое алгебраическая дробь, на чём основано сокращение и почему сокращать можно только множители, а не слагаемые. Разбираем все случаи: общий множитель, разность квадратов и разложение трёхчлена — с примерами и частыми ошибками.

Пройти тему целиком

Сокращение алгебраических дробей

Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что такое алгебраическая дробь 2 Основное свойство дроби 3 Общий множитель 4 Разность квадратов 5 Разложение трёхчлена 6 Как сокращать: алгоритм 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Что такое алгебраическая дробь

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, у которой в числителе и (или) знаменателе стоит выражение с буквами, например $\dfrac{2x}{x+3}$ или $\dfrac{x^2-9}{x-3}$.

Главное правило: знаменатель не может быть равен нулю — на ноль делить нельзя. Значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, в дробь подставлять запрещено.

Пример

В дроби $\dfrac{2x}{x-5}$ нельзя брать $x = 5$: тогда знаменатель равен $0$.

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Дробь становится проще, а её значение не меняется.

Раздел 2

Основное свойство дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число (или выражение), не равное нулю — значение дроби не изменится.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} = \dfrac{a : m}{b : m}, \quad m \ne 0$

Именно на делении и основано сокращение. Чтобы что-то сократить, это «что-то» должно быть множителем и в числителе, и в знаменателе.

Сокращать можно только множители (то, что перемножается), а не слагаемые (то, что складывается). Это правило №1 всей темы.

Раздел 3

Сокращение на общий множитель

Самый частый случай — в числителе и знаменателе стоят одночлены (числа со степенями букв). Сокращаем отдельно числа и отдельно степени переменных.

Числа

Делим коэффициенты на их наибольший общий делитель.

Пример

$\dfrac{6x}{9x} = \dfrac{2}{3}$ — сократили на $3x$.

Степени

У степеней с одинаковым основанием при делении показатели вычитаются: $\dfrac{x^5}{x^2} = x^{3}$.

Пример

$\dfrac{4x}{6x^3} = \dfrac{2}{3x^2}$ — сократили число на $2$ и $x$ на $x$.
$\dfrac{10x^2y}{15xy^2} = \dfrac{2x}{3y}$.

Сначала разложите коэффициенты на множители в уме: $6=2\cdot3$, $9=3\cdot3$ — сразу видно общий множитель $3$.

Раздел 4

Сокращение через разность квадратов

Если в дроби есть выражение вида $a^2 - b^2$, его раскладывают по формуле и сокращают с одинаковой скобкой.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Пример

$\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$.

Пример

$\dfrac{4x^2 - 25}{2x - 5} = \dfrac{(2x-5)(2x+5)}{2x-5} = 2x + 5$.

Проверьте: $9 = 3^2$, $25 = 5^2$, $4x^2 = (2x)^2$ — числа под знаком квадрата должны быть точными квадратами, иначе формула не подойдёт.

Раздел 5

Разложение квадратного трёхчлена

Трёхчлен $x^2 + px + q$ раскладывается на скобки $(x + a)(x + b)$, где числа $a$ и $b$ в сумме дают $p$, а в произведении — $q$.

$x^2 + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)$

Пример

$x^2 + 5x + 6$: подбираем числа с суммой $5$ и произведением $6$ — это $2$ и $3$.
$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
Тогда $\dfrac{x^2+5x+6}{x+2} = \dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2} = x + 3$.

Пример

$\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+3}=\dfrac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{x+2}{x+1}$.

Если в трёхчлене последний знак «$+$», а средний «$-$» — оба числа отрицательные: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Раздел 6

Как сокращать: алгоритм

Разложите на множители числитель.
Разложите на множители знаменатель.
Найдите одинаковый множитель сверху и снизу.
Сократите его (вычеркните) — останется упрощённая дробь.

Образец

$\dfrac{x^2-16}{x^2-3x-4}$.
Числитель: $x^2-16=(x-4)(x+4)$.
Знаменатель: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$.
$\dfrac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+1)}=\dfrac{x+4}{x+1}$.

Пока числитель и знаменатель не разложены на множители — сокращать рано. Разложение всегда идёт первым.

Раздел 7

Частые ошибки

Сокращают слагаемые: $\dfrac{x+3}{x}$ «$=3$» — неверно! $x$ в числителе не множитель, а слагаемое, его сокращать нельзя.

В $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ «зачёркивают» $x^2$ и $x$ — это грубая ошибка. Сначала раскладываем: $(x-3)(x+3)$, и только потом сокращаем.

Считают $\dfrac{x^5}{x^2}=x^{2{,}5}$ — нет, показатели вычитаются: $x^{5-2}=x^3$.

Сокращают только часть числителя: в $\dfrac{2x+4}{2}$ «вычёркивают» лишь первую двойку. Нужно вынести общий множитель: $\dfrac{2(x+2)}{2}=x+2$.

Забывают, что $9$ — это $3^2$, и не узнают разность квадратов в $x^2-9$.

Раздел 8

Шпаргалка

Основное свойство: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:m}{b:m}$, $m\ne0$.
Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
Степени: $\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$.
Разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Трёхчлен: подбери числа с суммой $p$ и произведением $q$.
Алгоритм: разложить числитель → разложить знаменатель → сократить общую скобку.

↑ Наверх

Закрепите тему на практике

Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест с автоматической проверкой — так тема «Сокращение алгебраических дробей» закрепится надёжно.

📝 Домашняя работа ✅ Пройти тест