В 7 классе показатель был только натуральным. Теперь он может быть нулём и отрицательным числом. Разберёмся, что значит $a^0$ и $a^{-n}$, повторим свойства степеней и научимся записывать числа в стандартном виде.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Степень с натуральным показателем — это короткая запись произведения одинаковых множителей:
Здесь $a$ — основание, $n$ — показатель степени. Например, $2^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$.
В 8 классе показатель расширяют: он может быть любым целым числом — натуральным, нулём или отрицательным. Основание при этом берём $a\ne 0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^{0} = 1$ при $a\ne 0$.
Откуда это берётся? Разделим степень саму на себя по правилу деления: $\dfrac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0}$. Но дробь $\dfrac{a^{n}}{a^{n}} = 1$. Значит, $a^{0}=1$.
$5^{0}=1$, $\;100^{0}=1$, $\;(-7)^{0}=1$, $\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0}=1$.
Число в отрицательной степени равно единице, делённой на ту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ при $a\ne 0$.
Минус в показателе означает «перевернуть», то есть перейти к дроби. Сам знак числа от этого не меняется.
$2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$; $\quad 10^{-2}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$; $\quad 5^{-1}=\dfrac{1}{5}$.
Для дроби в отрицательной степени удобно сразу «перевернуть» её:
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$; $\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=2$.
Все знакомые свойства степеней работают и для целых показателей (основания не равны нулю):
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Умножение | $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ | $2^{5}\cdot 2^{-3}=2^{2}=4$ |
| Деление | $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ | $\dfrac{3^{2}}{3^{5}}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$ |
| Степень степени | $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ | $\left(2^{-2}\right)^{3}=2^{-6}$ |
| Степень произведения | $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ | $(2x)^{-1}=2^{-1}x^{-1}$ |
| Степень частного | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ | $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}=\dfrac{2}{3}$ |
Главное правило при умножении — показатели складываем, при делении — вычитаем. Это работает даже когда показатели отрицательные.
$\dfrac{a^{7}\cdot a^{-2}}{a^{3}} = \dfrac{a^{5}}{a^{3}} = a^{2}$.
Стандартный вид числа — это запись $a\cdot 10^{n}$, где $1\le a < 10$, а $n$ — целое число (порядок числа).
Большие числа дают положительный показатель, маленькие (меньше единицы) — отрицательный:
Правило простое: показатель $10$ равен тому, на сколько разрядов переехала запятая. Вправо для больших чисел — показатель растёт, влево для маленьких — становится отрицательным.
$48000 = 4{,}8\cdot 10^{4}$; $\quad 0{,}00061 = 6{,}1\cdot 10^{-4}$.
$7\cdot 10^{2}=700$; $\quad 5\cdot 10^{-3}=0{,}005$.