Неравенства решаются почти как уравнения, но есть одно важное правило:
при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
Разберём свойства, решение, запись ответа промежутком и системы неравенств.
С примерами и разбором типичных ошибок.
Пройти тему целиком
Линейные неравенства
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
В неравенствах сравнивают два выражения. Используют четыре знака:
Знак
Читается
Граница
$>$
больше
строгое (точка выколота)
$<$
меньше
строгое (точка выколота)
$\geq$
больше или равно
нестрогое (точка закрашена)
$\leq$
меньше или равно
нестрогое (точка закрашена)
Знаки $\geq$ и $\leq$ называют нестрогими: сама граница входит
в ответ. Знаки $>$ и $<$ — строгие: граница не входит.
Раздел 2
Что такое линейное неравенство
Определение
Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида
$ax+b>0$ (или со знаком $<$, $\geq$, $\leq$), где переменная $x$
стоит в первой степени.
Решить неравенство — значит найти все значения $x$, при которых оно
верно. Таких значений обычно бесконечно много, поэтому ответ записывают
промежутком, например $x>3$ или $x\leq -1$.
Примеры линейных неравенств
$2x-6>0$, $\ 5-x\leq 1$, $\ 3x+4\geq x-2$ — во всех переменная в первой степени.
Раздел 3
Свойства неравенств
С неравенствами можно делать почти то же, что с уравнениями:
К обеим частям можно прибавлять или вычитать любое число — знак не меняется.
Слагаемое можно переносить в другую часть, меняя его знак.
Обе части можно умножать или делить на положительное число — знак не меняется.
Главное правило: при умножении или делении обеих частей на
отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$>$ становится $<$, $\leq$ становится $\geq$.
Пример
$-2x<6$. Делим обе части на $-2$ и переворачиваем знак:
$x>-3$.
Чтобы не путаться со знаком, можно переносить $x$ в ту часть, где
коэффициент при нём окажется положительным — тогда делить на отрицательное не придётся.
Раздел 4
Как решать неравенство
Раскрой скобки, если они есть.
Перенеси слагаемые с $x$ в одну часть, числа — в другую (меняя знак при переносе).
Приведи подобные: получится $ax\ \square\ b$.
Раздели обе части на коэффициент при $x$. Если он отрицательный — переверни знак.
Запиши ответ промежутком и отметь его на числовой прямой.
Пример (знак не меняется)
$3x-7>5$.
$3x>12$ — перенесли $-7$.
$x>4$ — разделили на $3$ (положительное, знак тот же).
Ответ: $x>4$, то есть $(4;\,+\infty)$.
Пример (знак меняется)
$5-2x\geq 11$.
$-2x\geq 6$ — перенесли $5$.
$x\leq -3$ — разделили на $-2$, знак перевернулся.
Ответ: $x\leq -3$, то есть $(-\infty;\,-3]$.
Раздел 5
Числовая прямая и промежутки
Ответ удобно изображать на числовой прямой и записывать промежутком:
Неравенство
Промежуток
Точка на прямой
$x>a$
$(a;\,+\infty)$
выколота (пустая)
$x\geq a$
$[a;\,+\infty)$
закрашена
$x<a$
$(-\infty;\,a)$
выколота (пустая)
$x\leq a$
$(-\infty;\,a]$
закрашена
Круглая скобка — граница не входит (строгий знак), квадратная — граница
входит (нестрогий знак). Рядом с $\infty$ скобка всегда круглая.
Раздел 6
Системы неравенств
Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться
одновременно. Решают каждое по отдельности, а затем берут пересечение —
те значения $x$, что подходят сразу всем.
Пример
$\begin{cases} x-2>0 \\ x-5<0 \end{cases}$
Первое: $x>2$. Второе: $x<5$.
Пересечение: $2<x<5$, то есть промежуток $(2;\,5)$.
Пересечение удобно искать на одной числовой прямой: отметь оба
решения и возьми участок, закрашенный дважды. Если общих точек нет —
у системы нет решений.
Раздел 7
Частые ошибки
Делят на отрицательное число и забывают перевернуть знак.
Это самая частая ошибка: $-2x<6$ даёт $x>-3$, а не $x<-3$.
Переносят слагаемое, не меняя его знак. При переносе через знак
неравенства знак слагаемого меняется так же, как в уравнении.
Путают круглую и квадратную скобку: при строгом знаке ($>$, $<$)
граница не входит — скобка круглая.
В системе берут объединение вместо пересечения. Нужны значения,
которые подходят всем неравенствам сразу.
Меняют знак неравенства просто при переносе слагаемого. Знак неравенства
меняется только при умножении/делении на отрицательное число, а не при переносе.