Уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ — одна из главных тем 8 класса. Разберём полные и неполные уравнения, научимся считать дискриминант и находить корни, освоим теорему Виета. С примерами и разбором типичных ошибок.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — числа и обязательно $a\neq 0$.
Если все три коэффициента $a$, $b$, $c$ не равны нулю — уравнение называют полным. Если $b=0$ или $c=0$ — неполным (его решают проще, без дискриминанта).
Если старший коэффициент $a=1$, уравнение называют приведённым: $x^2+px+q=0$. Для него особенно удобна теорема Виета.
Выносим $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль.
$x^2-5x=0\ \Rightarrow\ x(x-5)=0\ \Rightarrow\ x=0$ или $x=5$.
Выражаем $x^2$ и извлекаем корень (если число под корнем неотрицательное).
$x^2-9=0\ \Rightarrow\ x^2=9\ \Rightarrow\ x=\pm 3$.
А вот $x^2+9=0$ корней не имеет: квадрат не бывает отрицательным.
Для полного уравнения $ax^2+bx+c=0$ сначала считаем дискриминант:
Затем по дискриминанту находим корни:
Решим $x^2-5x+6=0$. Здесь $a=1,\ b=-5,\ c=6$.
$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$.
$x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$, значит $x_1=2$, $x_2=3$.
Решим $2x^2+x-1=0$. $a=2,\ b=1,\ c=-1$.
$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$, $\sqrt{D}=3$.
$x_{1,2}=\dfrac{-1\pm 3}{4}$: $x_1=\dfrac{2}{4}=0{,}5$, $x_2=\dfrac{-4}{4}=-1$.
Количество корней зависит только от знака дискриминанта:
| Дискриминант | Сколько корней |
|---|---|
| $D>0$ | два различных корня |
| $D=0$ | один корень (двойной): $x=-\dfrac{b}{2a}$ |
| $D<0$ | действительных корней нет |
Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ корни связаны с коэффициентами:
Это позволяет подбирать корни в уме, когда они — небольшие целые числа.
$x^2-7x+12=0$. Ищем два числа: сумма $7$, произведение $12$. Это $3$ и $4$.
Значит $x_1=3$, $x_2=4$.
Решите уравнение $x^2=3x+10$.
Переносим всё влево: $x^2-3x-10=0$.
$D=(-3)^2-4\cdot(-10)=9+40=49$, $\sqrt{D}=7$.
$x_{1,2}=\dfrac{3\pm 7}{2}$: $x_1=5$, $x_2=-2$.
Проверка по Виета: $5+(-2)=3$, $5\cdot(-2)=-10$. Совпало.