Домашняя работа · Квадратные уравнения

Квадратные уравнения — домашняя работа

Четыре блока: неполные уравнения, решение через дискриминант, теорема Виета и смешанные задачи. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение» и сверьтесь.

Как выполнять

Инструкция

Сначала приведите уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$ (справа ноль).
Неполные ($b=0$ или $c=0$) решайте без дискриминанта.
Дискриминант: $D=b^2-4ac$, корни: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Решение под каждым заданием спрятано: открывайте его после своей попытки.

📘 Нужна теория? Открыть конспект «Квадратные уравнения» →

Содержание

1 Неполные уравнения 2 Дискриминант 3 Теорема Виета 4 Смешанные задания

Блок 1

Неполные уравнения база

Без дискриминанта: выносим множитель или извлекаем корень.

1.1Решите уравнение: $x^2-4x=0$.

Показать решение

$x(x-4)=0$, значит $x=0$ или $x=4$.
Ответ: $0$ и $4$

1.2Решите уравнение: $x^2-16=0$.

Показать решение

$x^2=16$, значит $x=\pm 4$.
Ответ: $4$ и $-4$

1.3Решите уравнение: $3x^2-12x=0$.

Показать решение

$3x(x-4)=0$, значит $x=0$ или $x=4$.
Ответ: $0$ и $4$

1.4Сколько корней у уравнения $x^2+25=0$?

Показать решение

$x^2=-25$ — невозможно, квадрат не бывает отрицательным.
Ответ: корней нет

Блок 2

Дискриминант средне

$D=b^2-4ac$, $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.

2.1Решите уравнение: $x^2-5x+6=0$.

Показать решение

$D=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$.
$x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$: $x_1=2$, $x_2=3$.
Ответ: $2$ и $3$

2.2Решите уравнение: $x^2+2x-8=0$.

Показать решение

$D=2^2-4\cdot(-8)=4+32=36$, $\sqrt{D}=6$.
$x_{1,2}=\dfrac{-2\pm 6}{2}$: $x_1=2$, $x_2=-4$.
Ответ: $2$ и $-4$

2.3Решите уравнение: $2x^2-7x+3=0$.

Показать решение

$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$, $\sqrt{D}=5$.
$x_{1,2}=\dfrac{7\pm 5}{4}$: $x_1=3$, $x_2=\dfrac{2}{4}=0{,}5$.
Ответ: $3$ и $0{,}5$

2.4Сколько корней у уравнения $x^2-4x+7=0$?

Показать решение

$D=16-28=-12<0$ — корней нет.
Ответ: корней нет

Блок 3

Теорема Виета средне

Для $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1 x_2=q$.

3.1Найдите сумму и произведение корней: $x^2-9x+20=0$.

Показать решение

$x_1+x_2=9$, $x_1 x_2=20$.
Ответ: сумма $9$, произведение $20$

3.2Подберите корни по Виета: $x^2-7x+12=0$.

Показать решение

Сумма $7$, произведение $12$: подходят $3$ и $4$.
Ответ: $3$ и $4$

3.3Подберите корни по Виета: $x^2+x-6=0$.

Показать решение

Сумма $-1$, произведение $-6$: подходят $2$ и $-3$.
Ответ: $2$ и $-3$

3.4Один корень уравнения $x^2-10x+q=0$ равен $4$. Найдите второй корень и $q$.

Показать решение

Сумма корней $10$, значит второй корень $10-4=6$. Произведение $q=4\cdot 6=24$.
Ответ: второй корень $6$, $q=24$

Блок 4

Смешанные задания сложнее

Проверь себя.

4.1Решите уравнение: $x^2=4x+5$.

Показать решение

Переносим: $x^2-4x-5=0$. $D=16+20=36$, $\sqrt{D}=6$.
$x_{1,2}=\dfrac{4\pm 6}{2}$: $x_1=5$, $x_2=-1$.
Ответ: $5$ и $-1$

4.2Решите уравнение: $(x-2)(x+3)=0$.

Показать решение

Произведение равно нулю: $x-2=0$ или $x+3=0$.
$x=2$ или $x=-3$.
Ответ: $2$ и $-3$

4.3При каком $D$ уравнение имеет ровно один корень?

Показать решение

Один (двойной) корень бывает только при $D=0$.
Ответ: $D=0$

4.4Верно ли, что при $D=0$ корней нет?

Показать решение

Нет. При $D=0$ есть один корень $x=-\dfrac{b}{2a}$. Корней нет при $D<0$.
Ответ: нет

↑ Наверх

Квадратные уравнения — домашняя работа

Инструкция

Неполные уравнения база

Дискриминант средне

Теорема Виета средне

Смешанные задания сложнее

Проверьте себя на тесте