Алгебра 8 класс · Теория

★ База для ОГЭ

Квадратные неравенства

Это неравенства вида $ax^2+bx+c>0$ (или со знаком $<$, $\geq$, $\leq$). Решать их помогает картинка параболы: находим корни, рисуем эскиз и смотрим, где график выше или ниже оси. Разберём всё по шагам.

Пройти тему целиком

Квадратные неравенства

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что это такое 2 Метод парабол 3 Алгоритм решения 4 Куда смотрит ветвь 5 Случаи по дискриминанту 6 Разбор примеров 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Что это такое

Определение

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2+bx+c>0$ (а также со знаками $<$, $\geq$, $\leq$), где $a\neq 0$.

Решить неравенство — значит найти все $x$, при которых оно верно. Ответ обычно записывают в виде промежутка или объединения промежутков.

Примеры

$x^2-5x+6>0$, $\quad x^2-9\leq 0$, $\quad 2x^2+x-1<0$ — все квадратные.

Раздел 2

Метод парабол

График функции $y=ax^2+bx+c$ — это парабола. Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ — это точки, где парабола пересекает ось $x$. Между этими точками и вне их знак выражения разный.

Где парабола выше оси $x$ — там $ax^2+bx+c>0$.
Где парабола ниже оси $x$ — там $ax^2+bx+c<0$.

Достаточно нарисовать грубый эскиз: корни на оси и ветви параболы. Точный график не нужен — важен только знак.

Раздел 3

Алгоритм решения

Перенеси всё в левую часть, чтобы справа был ноль.
Реши уравнение $ax^2+bx+c=0$ — найди корни $x_1$ и $x_2$.
Нарисуй эскиз параболы: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$.
Отметь корни на оси и определи знак на каждом промежутке.
Выбери промежутки, где знак совпадает с неравенством, и запиши ответ.

Следи за знаком: строгий ($>$, $<$) — корни не включаются (круглые скобки); нестрогий ($\geq$, $\leq$) — корни включаются (квадратные скобки).

Раздел 4

Куда смотрит ветвь параболы

Направление ветвей зависит только от знака коэффициента $a$:

Коэффициент $a$	Ветви	Где график выше оси
$a>0$	вверх ∪	вне корней: $x<x_1$ и $x>x_2$
$a<0$	вниз ∩	между корнями: $x_1<x<x_2$

Запомни «улыбку и грусть»: при $a>0$ парабола «улыбается» (ветви вверх), при $a<0$ — «грустит» (ветви вниз).

Раздел 5

Случаи по дискриминанту

Сколько корней у уравнения — столько точек пересечения с осью. От этого зависит вид ответа.

Дискриминант	Что значит
$D>0$	два корня — три промежутка, выбираем нужные
$D=0$	один корень — парабола касается оси; знак почти везде одинаков
$D<0$	корней нет — парабола целиком выше или ниже оси

Пример $D<0$

$x^2+1>0$: $D<0$, ветви вверх, парабола всегда выше оси.
Значит неравенство верно при любом $x$.

Раздел 6

Разбор примеров

Пример 1

$x^2-5x+6>0$. Корни: $x_1=2$, $x_2=3$. Ветви вверх ($a>0$).
Выше оси — вне корней.
Ответ: $x<2$ или $x>3$, то есть $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$.

Пример 2

$x^2-9\leq 0$. Корни: $x=\pm 3$. Ветви вверх.
Ниже или на оси — между корнями (с включением).
Ответ: $-3\leq x\leq 3$, то есть $[-3;3]$.

Пример 3

$-x^2+4>0$, то есть $x^2-4<0$. Корни $\pm 2$.
Ответ: $-2<x<2$, то есть $(-2;2)$.

Раздел 7

Частые ошибки

Путают, где выбирать промежутки: при $>0$ и ветвях вверх берут вне корней, а не между ними.

Забывают про знак скобок: при строгом неравенстве корни не входят, при нестрогом — входят.

Не переносят всё в одну часть и решают неравенство «как есть», теряя знак.

При $D<0$ пишут «решений нет», хотя на самом деле решением может быть всё множество (зависит от знака неравенства).

Неправильно определяют направление ветвей, не посмотрев на знак $a$.

Раздел 8

Шпаргалка

Шаг 1: перенеси всё влево, справа ноль.
Шаг 2: найди корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.
Шаг 3: нарисуй параболу (вверх при $a>0$, вниз при $a<0$).
$>0$, ветви вверх: вне корней; $<0$, ветви вверх: между корнями.
Скобки: строгий знак — круглые, нестрогий — квадратные.
$D<0$: либо всё множество, либо решений нет — смотри по знаку.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для заданий №13 и 20 ОГЭ

Неравенства на ОГЭ — отдельное задание. Главное — аккуратно работать со знаком при переносе и умножении и правильно записывать промежутки.

Тренироваться по теме Тренировать задание №13 ОГЭ

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства

Что это такое

Метод парабол

Алгоритм решения

Куда смотрит ветвь параболы

Случаи по дискриминанту

Разбор примеров

Частые ошибки

Шпаргалка

Эта тема — основа для заданий №13 и 20 ОГЭ

Закрепите тему на практике

Что не так?