Это неравенства вида $ax^2+bx+c>0$ (или со знаком $<$, $\geq$, $\leq$).
Решать их помогает картинка параболы: находим корни, рисуем эскиз и смотрим,
где график выше или ниже оси. Разберём всё по шагам.
Пройти тему целиком
Квадратные неравенства
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2+bx+c>0$ (а также со знаками
$<$, $\geq$, $\leq$), где $a\neq 0$.
Решить неравенство — значит найти все $x$, при которых оно верно.
Ответ обычно записывают в виде промежутка или объединения промежутков.
Примеры
$x^2-5x+6>0$, $\quad x^2-9\leq 0$, $\quad 2x^2+x-1<0$ — все квадратные.
Раздел 2
Метод парабол
График функции $y=ax^2+bx+c$ — это парабола. Корни уравнения
$ax^2+bx+c=0$ — это точки, где парабола пересекает ось $x$. Между этими точками и
вне их знак выражения разный.
Где парабола выше оси $x$ — там $ax^2+bx+c>0$.
Где парабола ниже оси $x$ — там $ax^2+bx+c<0$.
Достаточно нарисовать грубый эскиз: корни на оси и ветви параболы.
Точный график не нужен — важен только знак.
Раздел 3
Алгоритм решения
Перенеси всё в левую часть, чтобы справа был ноль.
Реши уравнение $ax^2+bx+c=0$ — найди корни $x_1$ и $x_2$.
Нарисуй эскиз параболы: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$.
Отметь корни на оси и определи знак на каждом промежутке.
Выбери промежутки, где знак совпадает с неравенством, и запиши ответ.
Следи за знаком: строгий ($>$, $<$) — корни не включаются
(круглые скобки); нестрогий ($\geq$, $\leq$) — корни включаются (квадратные скобки).
Раздел 4
Куда смотрит ветвь параболы
Направление ветвей зависит только от знака коэффициента $a$:
Коэффициент $a$
Ветви
Где график выше оси
$a>0$
вверх ∪
вне корней: $x<x_1$ и $x>x_2$
$a<0$
вниз ∩
между корнями: $x_1<x<x_2$
Запомни «улыбку и грусть»: при $a>0$ парабола «улыбается» (ветви вверх),
при $a<0$ — «грустит» (ветви вниз).
Раздел 5
Случаи по дискриминанту
Сколько корней у уравнения — столько точек пересечения с осью. От этого
зависит вид ответа.
Дискриминант
Что значит
$D>0$
два корня — три промежутка, выбираем нужные
$D=0$
один корень — парабола касается оси; знак почти везде одинаков
$D<0$
корней нет — парабола целиком выше или ниже оси
Пример $D<0$
$x^2+1>0$: $D<0$, ветви вверх, парабола всегда выше оси.
Значит неравенство верно при любом $x$.
Раздел 6
Разбор примеров
Пример 1
$x^2-5x+6>0$. Корни: $x_1=2$, $x_2=3$. Ветви вверх ($a>0$).
Выше оси — вне корней.
Ответ: $x<2$ или $x>3$, то есть $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$.
Пример 2
$x^2-9\leq 0$. Корни: $x=\pm 3$. Ветви вверх.
Ниже или на оси — между корнями (с включением).
Ответ: $-3\leq x\leq 3$, то есть $[-3;3]$.
Пример 3
$-x^2+4>0$, то есть $x^2-4<0$. Корни $\pm 2$.
Ответ: $-2<x<2$, то есть $(-2;2)$.
Раздел 7
Частые ошибки
Путают, где выбирать промежутки: при $>0$ и ветвях вверх берут
вне корней, а не между ними.
Забывают про знак скобок: при строгом неравенстве корни не входят,
при нестрогом — входят.
Не переносят всё в одну часть и решают неравенство «как есть»,
теряя знак.
При $D<0$ пишут «решений нет», хотя на самом деле решением может быть
всё множество (зависит от знака неравенства).
Неправильно определяют направление ветвей, не посмотрев на знак $a$.
Раздел 8
Шпаргалка
Шаг 1: перенеси всё влево, справа ноль.
Шаг 2: найди корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.
Шаг 3: нарисуй параболу (вверх при $a>0$, вниз при $a<0$).
$>0$, ветви вверх: вне корней; $<0$, ветви вверх: между корнями.
Скобки: строгий знак — круглые, нестрогий — квадратные.
$D<0$: либо всё множество, либо решений нет — смотри по знаку.