Многие текстовые задачи решаются одинаково: обозначаем неизвестное буквой, переводим условие в уравнение — и оно оказывается квадратным. Научимся составлять такие уравнения и не забывать отбрасывать «нереальные» корни.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Если в условии есть произведение двух величин, которые зависят от неизвестного (площадь = длина × ширина, произведение двух чисел), то при составлении уравнения почти всегда появляется $x^2$ — а значит, уравнение квадратное.
Обозначаем неизвестное буквой $x$, выражаем через неё все остальные величины и записываем равенство из условия. Полученное уравнение приводим к виду $ax^2+bx+c=0$ и решаем.
«Произведение двух чисел равно…», «площадь прямоугольника равна…», «одна сторона на столько-то больше другой» — почти всегда выход на квадратное уравнение.
В таких задачах речь о двух числах, связанных суммой, разностью или произведением. Чаще всего одно число выражают через другое.
Произведение двух чисел равно $48$, а одно из них на $2$ больше другого. Найдите числа.
Пусть меньшее число $x$, тогда большее $x+2$.
$x(x+2)=48\ \Rightarrow\ x^2+2x-48=0$.
$D=4+192=196$, $\sqrt{D}=14$. $x=\dfrac{-2+14}{2}=6$ (второй корень $-8$ отбрасываем, если нужны натуральные).
Числа: $6$ и $8$.
Площадь прямоугольника = длина × ширина. Если одну сторону обозначить $x$, а вторую выразить через $x$, то получится квадратное уравнение.
Длина прямоугольника на $5$ м больше ширины, а площадь равна $84$ м². Найдите стороны.
Пусть ширина $x$, длина $x+5$.
$x(x+5)=84\ \Rightarrow\ x^2+5x-84=0$.
$D=25+336=361$, $\sqrt{D}=19$. $x=\dfrac{-5+19}{2}=7$ (корень $-12$ — длина не бывает отрицательной).
Ширина $7$ м, длина $12$ м.
Квадратное уравнение часто даёт два корня, но по смыслу задачи подходит не каждый. Проверяй ответ по условию:
| Что обозначает $x$ | Какие корни подходят |
|---|---|
| Длина, ширина, расстояние | только положительные |
| Количество предметов, людей | целые положительные |
| Возраст | положительные (и разумные по смыслу) |
| Любое число (без ограничений) | оба корня |
Произведение двух последовательных натуральных чисел равно $72$. Найдите эти числа.
1. Пусть первое число $x$, тогда следующее $x+1$.
2. По условию: $x(x+1)=72$.
3. Раскроем: $x^2+x-72=0$.
4. $D=1+288=289$, $\sqrt{D}=17$. $x=\dfrac{-1+17}{2}=8$ или $x=\dfrac{-1-17}{2}=-9$.
5. Числа натуральные, поэтому $-9$ не подходит. Берём $x=8$.
6. Ответ: числа $8$ и $9$.