Математика 7–9 класс /
Алгебра 8 класс /
Задачи через квадратные уравнения /
Домашняя работа
Домашняя работа · Задачи через квадратные уравнения
Задачи через квадратные уравнения — домашняя работа
Четыре блока: составление уравнения, задачи на числа, задачи на площадь и задачи
с выбором правильного корня. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение».
Как выполнять
Инструкция
Обозначьте неизвестное за $x$ и выразите остальные величины через $x$.
Составьте уравнение по условию и приведите к виду $ax^2+bx+c=0$.
Решите через дискриминант и отбросьте корни, невозможные по смыслу.
Решение под каждым заданием спрятано: открывайте его после своей попытки.
Показать все решения
Скрыть все решения
📘 Нужна теория? Открыть конспект «Задачи через квадратные уравнения» →
Блок 1
Составляем уравнение база
Только запиши уравнение, решать пока не нужно.
1.1 Произведение двух чисел равно $40$, одно на $3$ больше другого. Составьте уравнение (меньшее число $x$).
Показать решение Меньшее $x$, большее $x+3$. Произведение: $x(x+3)=40$.Ответ: $x(x+3)=40$, то есть $x^2+3x-40=0$
1.2 Длина прямоугольника на $4$ см больше ширины, площадь $45$ см². Составьте уравнение (ширина $x$).
Показать решение Ширина $x$, длина $x+4$. Площадь: $x(x+4)=45$.Ответ: $x^2+4x-45=0$
1.3 Произведение двух последовательных натуральных чисел равно $30$. Составьте уравнение.
Показать решение Первое $x$, следующее $x+1$. $x(x+1)=30$.Ответ: $x^2+x-30=0$
1.4 Число, умноженное само на себя, даёт $49$. Составьте уравнение.
Показать решение $x\cdot x=49$.Ответ: $x^2=49$
Блок 2
Задачи на числа средне
Реши до конца. В ответе — искомое число (натуральное).
2.1 Произведение двух чисел равно $48$, одно на $2$ больше другого. Найдите меньшее число.
Показать решение $x(x+2)=48\Rightarrow x^2+2x-48=0$. $D=4+192=196$, $\sqrt{D}=14$. $x=\dfrac{-2+14}{2}=6$ (корень $-8$ отбрасываем).Ответ: $6$ (числа $6$ и $8$)
2.2 Произведение двух последовательных натуральных чисел равно $72$. Найдите меньшее.
Показать решение $x(x+1)=72\Rightarrow x^2+x-72=0$. $D=1+288=289$, $\sqrt{D}=17$. $x=\dfrac{-1+17}{2}=8$.Ответ: $8$ (числа $8$ и $9$)
2.3 Квадрат числа равен утроенному этому числу. Найдите положительное число.
Показать решение $x^2=3x\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0$. $x=0$ или $x=3$. Положительное — $3$.Ответ: $3$
2.4 Произведение двух чисел равно $54$, одно в $1{,}5$ раза больше другого… Упростим: одно на $3$ больше, произведение $54$. Найдите меньшее.
Показать решение $x(x+3)=54\Rightarrow x^2+3x-54=0$. $D=9+216=225$, $\sqrt{D}=15$. $x=\dfrac{-3+15}{2}=6$.Ответ: $6$ (числа $6$ и $9$)
Блок 3
Задачи на площадь средне
В ответе запиши искомую сторону (см или м).
3.1 Длина прямоугольника на $5$ м больше ширины, площадь $84$ м². Найдите ширину.
Показать решение $x(x+5)=84\Rightarrow x^2+5x-84=0$. $D=25+336=361$, $\sqrt{D}=19$. $x=\dfrac{-5+19}{2}=7$.Ответ: ширина $7$ м (длина $12$ м)
3.2 Площадь квадрата равна $64$ см². Найдите сторону.
Показать решение $x^2=64\Rightarrow x=8$ (корень $-8$ отбрасываем — длина положительна).Ответ: $8$ см
3.3 Длина прямоугольника на $2$ см больше ширины, площадь $35$ см². Найдите ширину.
Показать решение $x(x+2)=35\Rightarrow x^2+2x-35=0$. $D=4+140=144$, $\sqrt{D}=12$. $x=\dfrac{-2+12}{2}=5$.Ответ: ширина $5$ см (длина $7$ см)
3.4 Длина прямоугольника в $3$ раза больше ширины, площадь $48$ см². Найдите ширину.
Показать решение Ширина $x$, длина $3x$. $x\cdot 3x=48\Rightarrow 3x^2=48\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$.Ответ: ширина $4$ см (длина $12$ см)
Блок 4
Выбор правильного корня сложнее
Уравнение даёт два корня — выбери подходящий по смыслу.
4.1 Уравнение задачи $x^2+5x-84=0$ имеет корни $7$ и $-12$. Какой корень подходит, если $x$ — длина?
Показать решение Длина положительна, поэтому $-12$ не подходит.Ответ: $7$
4.2 Произведение двух чисел равно $-15$, одно на $8$ больше другого. Найдите меньшее (числа могут быть любыми).
Показать решение $x(x+8)=-15\Rightarrow x^2+8x+15=0$. $D=64-60=4$, $\sqrt{D}=2$. $x=\dfrac{-8-2}{2}=-5$ или $x=\dfrac{-8+2}{2}=-3$. Меньшее $-5$ (числа $-5$ и $3$).Ответ: $-5$
4.3 Сторона квадратной клумбы увеличена на $3$ м, площадь стала $64$ м². Найдите исходную сторону.
Показать решение $(x+3)^2=64\Rightarrow x+3=8$ (минус отбрасываем) $\Rightarrow x=5$.Ответ: $5$ м
4.4 Произведение двух последовательных чётных чисел равно $48$. Найдите меньшее (натуральное).
Показать решение Чётные подряд: $x$ и $x+2$. $x(x+2)=48\Rightarrow x^2+2x-48=0$. $D=196$, $\sqrt{D}=14$. $x=6$.Ответ: $6$ (числа $6$ и $8$)
↑ Наверх
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.