Это уравнения, где переменная стоит в знаменателе. Решаются почти как обычные, но есть важное правило: на ноль делить нельзя, поэтому нужно следить за ОДЗ и убирать посторонние корни. Разберём всё по шагам с примерами.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе дроби, например $\dfrac{6}{x-1}=3$.
Если переменной в знаменателе нет — уравнение обычное (целое). А как только под чертой появляется $x$ — нужно быть внимательным: на ноль делить нельзя.
$\dfrac{6}{x-1}=3$, $\quad\dfrac{2}{x}=\dfrac{5}{x+3}$, $\quad\dfrac{x+1}{x-2}=4$ — во всех есть $x$ в знаменателе.
ОДЗ — это область допустимых значений, то есть все $x$, при которых уравнение имеет смысл. Главное правило одно:
Перед решением находим, при каких $x$ знаменатель обращается в ноль, — эти значения запрещены. Если в ответе получится такое число, его придётся отбросить.
В уравнении $\dfrac{6}{x-1}=3$ знаменатель $x-1=0$ при $x=1$.
Значит ОДЗ: $x\neq 1$.
Если уравнение — это равенство двух дробей $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, то работает правило креста: произведения «накрест» равны.
$\dfrac{2}{x}=\dfrac{5}{x+3}$. По правилу креста: $2(x+3)=5x$.
$2x+6=5x\ \Rightarrow\ 6=3x\ \Rightarrow\ x=2$.
ОДЗ: $x\neq 0$ и $x\neq -3$ — корень $2$ подходит.
Универсальный способ: умножаем обе части уравнения на общий знаменатель — дроби исчезают, остаётся обычное уравнение.
$\dfrac{6}{x-1}=3$. ОДЗ: $x\neq 1$.
Умножаем обе части на $(x-1)$: $6=3(x-1)$.
$6=3x-3\ \Rightarrow\ 3x=9\ \Rightarrow\ x=3$.
$x=3$ входит в ОДЗ — это ответ.
Иногда после решения получается число, которое обращает знаменатель в ноль. Такой корень называют посторонним — он не входит в ОДЗ и в ответ не идёт.
$\dfrac{x^2}{x-2}=\dfrac{4}{x-2}$. ОДЗ: $x\neq 2$.
Умножаем на $(x-2)$: $x^2=4\ \Rightarrow\ x=2$ или $x=-2$.
Но $x=2$ запрещён ОДЗ — отбрасываем. Остаётся только $x=-2$.
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3}{4}$ можно решить, но в 8 классе чаще
встречается проще: $\dfrac{12}{x}=4$. ОДЗ: $x\neq 0$.
$12=4x\ \Rightarrow\ x=3$. Подходит — ответ $3$.