Домашняя работа · Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения — домашняя работа

Четыре блока: ОДЗ, перекрёстное умножение, общий знаменатель и задачи с посторонними корнями. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение» и сверьтесь.

Как выполнять

Инструкция

Сначала запишите ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
Избавьтесь от дробей: правило креста (две дроби) или общий знаменатель.
Решите получившееся уравнение и сверьте корни с ОДЗ.
Решение под каждым заданием спрятано: открывайте его после своей попытки.

📘 Нужна теория? Открыть конспект «Дробно-рациональные уравнения» →

Содержание

1 ОДЗ 2 Перекрёстное умножение 3 Общий знаменатель 4 Посторонние корни

Блок 1

ОДЗ база

Найди значения, при которых знаменатель равен нулю.

1.1Найдите ОДЗ уравнения $\dfrac{5}{x-3}=2$.

Показать решение

$x-3=0$ при $x=3$.
Ответ: $x\neq 3$

1.2Найдите ОДЗ уравнения $\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{x-2}$.

Показать решение

$x=0$ и $x-2=0$, то есть $x=0$ и $x=2$ запрещены.
Ответ: $x\neq 0$, $x\neq 2$

1.3Какое число НЕ может быть корнем уравнения $\dfrac{7}{x+5}=1$?

Показать решение

Запрещено $x=-5$ (знаменатель ноль).
Ответ: $-5$

1.4Найдите ОДЗ уравнения $\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{3}{x+4}$.

Показать решение

$x-1=0$ и $x+4=0$: запрещены $x=1$ и $x=-4$.
Ответ: $x\neq 1$, $x\neq -4$

Блок 2

Перекрёстное умножение средне

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$.

2.1Решите уравнение: $\dfrac{6}{x}=3$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 0$. $6=3x\Rightarrow x=2$. Подходит.
Ответ: $2$

2.2Решите уравнение: $\dfrac{10}{x-1}=5$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 1$. $10=5(x-1)\Rightarrow x-1=2\Rightarrow x=3$. Подходит.
Ответ: $3$

2.3Решите уравнение: $\dfrac{2}{x}=\dfrac{5}{x+3}$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 0$, $x\neq -3$. $2(x+3)=5x\Rightarrow 2x+6=5x\Rightarrow x=2$. Подходит.
Ответ: $2$

2.4Решите уравнение: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{x}$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 0$. $3x=36\Rightarrow x=12$. Подходит.
Ответ: $12$

Блок 3

Общий знаменатель средне

Умножай обе части на общий знаменатель.

3.1Решите уравнение: $\dfrac{8}{x+2}=2$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq -2$. $8=2(x+2)\Rightarrow x+2=4\Rightarrow x=2$. Подходит.
Ответ: $2$

3.2Решите уравнение: $\dfrac{x+1}{x-2}=4$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 2$. $x+1=4(x-2)\Rightarrow x+1=4x-8\Rightarrow 9=3x\Rightarrow x=3$. Подходит.
Ответ: $3$

3.3Решите уравнение: $\dfrac{12}{x}-1=3$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 0$. $\dfrac{12}{x}=4\Rightarrow 12=4x\Rightarrow x=3$. Подходит.
Ответ: $3$

3.4Решите уравнение: $\dfrac{x}{x-4}=2$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 4$. $x=2(x-4)\Rightarrow x=2x-8\Rightarrow x=8$. Подходит.
Ответ: $8$

Блок 4

Посторонние корни сложнее

Не забудь сверить корни с ОДЗ.

4.1Решите уравнение: $\dfrac{x^2}{x-2}=\dfrac{4}{x-2}$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 2$. $x^2=4\Rightarrow x=2$ или $x=-2$. Корень $2$ запрещён — отбрасываем.
Ответ: $-2$

4.2Решите уравнение: $\dfrac{x^2-9}{x-3}=0$.

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 3$. Дробь равна нулю, когда числитель ноль: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$. Корень $3$ запрещён.
Ответ: $-3$

4.3Сколько корней у уравнения $\dfrac{x-5}{x-5}=1$?

Показать решение

ОДЗ: $x\neq 5$. При всех остальных $x$ дробь равна $1$ — верно всегда. Но это особый случай: бесконечно много решений, кроме $x=5$.
Ответ: бесконечно много (кроме $x=5$)

4.4Решите уравнение: $\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{6}{x-1}+2$. Сколько корней?

Показать решение

Вычтем дробь: $0=2$ — неверно. Решений нет.
Ответ: корней нет

↑ Наверх

Дробно-рациональные уравнения — домашняя работа

Инструкция

ОДЗ база

Перекрёстное умножение средне

Общий знаменатель средне

Посторонние корни сложнее

Проверьте себя на тесте