Квадратный корень из числа — это число, которое в квадрате даёт исходное. Научимся находить точные значения, выносить множитель из-под корня, складывать подобные корни и избавляться от иррациональности в знаменателе.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Арифметический квадратный корень из числа $a$ (где $a \ge 0$) — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Обозначают $\sqrt{a}$.
Например, $\sqrt{9}=3$, потому что $3^2=9$. А вот $-3$ корнем не считают: арифметический корень всегда неотрицателен.
$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ и $\sqrt{a^2} = |a|$. Для положительных $a$ это просто $a$.
Корень извлекается «нацело», если под ним стоит точный квадрат. Эту таблицу полезно знать наизусть:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
Тогда, читая таблицу справа налево: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{169}=13$.
$\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4}$.
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ (узнаём «египетский» треугольник $9{-}12{-}15$).
Главные свойства (для $a\ge 0$, $b\ge 0$):
Корень из произведения равен произведению корней, корень из частного — частному корней. Эти правила работают в обе стороны.
$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
$\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 3^2\cdot 5 = 9\cdot 5 = 45$.
Если под корнем «спрятан» точный квадрат, его можно вынести наружу. Раскладываем число на множитель-квадрат и остаток:
$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$. Ищем наибольший квадрат-делитель — тогда вынос полный.
Складывать и вычитать можно только подобные корни — с одинаковым подкоренным выражением. Тогда складываем коэффициенты, корень оставляем:
Часто сначала нужно вынести множитель, чтобы корни стали подобными.
$\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
$\sqrt{75}-\sqrt{12}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
В знаменателе не принято оставлять корень. Чтобы убрать его, умножаем числитель и знаменатель на этот же корень:
$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
$\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ (сократили $6$ и $3$).