Разберём, что такое квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$, как найти его корни,
как разложить его на множители и причём тут теорема Виета. Всё — на понятных
примерах и с разбором типичных ошибок.
Пройти тему целиком
Квадратный трёхчлен
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Квадратный трёхчлен — это выражение вида $ax^2+bx+c$, где $a$, $b$, $c$ — числа
и обязательно $a\neq 0$.
Числа называют коэффициентами: $a$ — старший (при $x^2$),
$b$ — средний (при $x$), $c$ — свободный член (без $x$). Слово «трёхчлен» — потому что
в нём три слагаемых.
Трёхчлен
$a$
$b$
$c$
$x^2-5x+6$
$1$
$-5$
$6$
$2x^2+3x-1$
$2$
$3$
$-1$
$-x^2+4$
$-1$
$0$
$4$
Главное условие — $a\neq 0$. Если $a=0$, то $x^2$ исчезает и остаётся
обычное линейное выражение $bx+c$, а не квадратный трёхчлен.
Раздел 2
Корни квадратного трёхчлена
Корень трёхчлена — это такое значение $x$, при котором весь трёхчлен
обращается в ноль. То есть корни трёхчлена $ax^2+bx+c$ — это решения уравнения
$ax^2+bx+c=0$.
Разложим $2x^2-10x+12$. Корни $x_1=2$, $x_2=3$, а $a=2$ выносим вперёд:
$2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3)$.
Не забывай множитель $a$ перед скобками, если старший коэффициент
не равен $1$. Иначе при раскрытии скобок получится не тот трёхчлен.
Раздел 4
Теорема Виета
Для приведённого трёхчлена $x^2+px+q$ (когда $a=1$) корни связаны
с коэффициентами очень просто:
$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$
Сумма корней равна среднему коэффициенту с противоположным знаком,
а произведение — свободному члену. Это помогает подбирать корни в уме.
Пример
Для $x^2-5x+6$: ищем два числа, у которых сумма $5$, а произведение $6$.
Это $2$ и $3$ — это и есть корни.
Виета удобно использовать, когда корни — небольшие целые числа.
Если подобрать не получается — считай через дискриминант.
Раздел 5
Выделение полного квадрата
Иногда трёхчлен можно свернуть в квадрат суммы или разности по формулам
сокращённого умножения:
$x^2+2bx+b^2=(x+b)^2,\qquad x^2-2bx+b^2=(x-b)^2$
Пример
$x^2-6x+9=x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2=(x-3)^2$.
Здесь корень один (двойной): $x=3$, ведь $(x-3)^2=0$ только при $x=3$.
Полный квадрат — это частный случай разложения, когда оба корня
совпадают ($x_1=x_2$). Тогда $(x-x_1)(x-x_1)=(x-x_1)^2$.
Раздел 6
Как решать задачи
Выпиши коэффициенты $a$, $b$, $c$ (следи за знаками!).
Найди корни: сначала попробуй Виета (подбор), иначе считай дискриминант.
Запиши разложение $a(x-x_1)(x-x_2)$, не забыв множитель $a$.
Если корней нет ($D<0$) — на множители над числами трёхчлен не раскладывается.
Проверь: раскрой скобки обратно — должен получиться исходный трёхчлен.
Задача
Разложите на множители $x^2-x-12$.
По Виета ищем числа с суммой $1$ и произведением $-12$: это $4$ и $-3$.
Значит $x_1=4$, $x_2=-3$.
$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$.
Проверка: $(x-4)(x+3)=x^2+3x-4x-12=x^2-x-12$. Совпало.
Раздел 7
Частые ошибки
Путают знаки в скобках. Если корень $x_1=-3$, то в скобке будет
$(x-(-3))=(x+3)$, а не $(x-3)$.
Теряют старший коэффициент: пишут $(x-x_1)(x-x_2)$ вместо
$a(x-x_1)(x-x_2)$, когда $a\neq 1$.
Считают, что трёхчлен всегда раскладывается. При $D<0$ корней нет,
и разложить на линейные множители (над числами) нельзя.
В теореме Виета берут сумму корней равной $+p$. На самом деле
$x_1+x_2=-p$ — со знаком минус.
Ошибаются в дискриминанте из-за знака $c$: например, при $c=-6$
считают $-4ac=-4\cdot 1\cdot(-6)=+24$, а пишут $-24$.
Раздел 8
Шпаргалка
Трёхчлен: $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
Дискриминант: $D=b^2-4ac$.
Корни: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Разложение: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Виета (для $x^2+px+q$): $x_1+x_2=-p$, $x_1 x_2=q$.
Полный квадрат: $x^2\pm 2bx+b^2=(x\pm b)^2$.
$D<0$ → корней нет → на множители не раскладывается.