Алгебра 8 класс · Теория

★ База для ОГЭ

Квадратный трёхчлен

Разберём, что такое квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$, как найти его корни, как разложить его на множители и причём тут теорема Виета. Всё — на понятных примерах и с разбором типичных ошибок.

Пройти тему целиком

Квадратный трёхчлен

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что такое квадратный трёхчлен 2 Корни квадратного трёхчлена 3 Разложение на множители 4 Теорема Виета 5 Выделение полного квадрата 6 Как решать задачи 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Что такое квадратный трёхчлен

Определение

Квадратный трёхчлен — это выражение вида $ax^2+bx+c$, где $a$, $b$, $c$ — числа и обязательно $a\neq 0$.

Числа называют коэффициентами: $a$ — старший (при $x^2$), $b$ — средний (при $x$), $c$ — свободный член (без $x$). Слово «трёхчлен» — потому что в нём три слагаемых.

Трёхчлен	$a$	$b$	$c$
$x^2-5x+6$	$1$	$-5$	$6$
$2x^2+3x-1$	$2$	$3$	$-1$
$-x^2+4$	$-1$	$0$	$4$

Главное условие — $a\neq 0$. Если $a=0$, то $x^2$ исчезает и остаётся обычное линейное выражение $bx+c$, а не квадратный трёхчлен.

Раздел 2

Корни квадратного трёхчлена

Корень трёхчлена — это такое значение $x$, при котором весь трёхчлен обращается в ноль. То есть корни трёхчлена $ax^2+bx+c$ — это решения уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Чтобы их найти, считаем дискриминант:

$D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

$D>0$ — два разных корня;
$D=0$ — один корень (двойной);
$D<0$ — корней нет (трёхчлен не раскладывается на множители над числами).

Пример

Найдём корни $x^2-5x+6$. Здесь $a=1,\ b=-5,\ c=6$.
$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$.
$x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$, значит $x_1=2$, $x_2=3$.

Подробно про дискриминант и формулу корней — в теме «Квадратные уравнения». Здесь они нужны, чтобы потом разложить трёхчлен на множители.

Раздел 3

Разложение на множители

Если у трёхчлена есть корни $x_1$ и $x_2$, его можно «разобрать» на произведение скобок:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Обрати внимание на знаки: в скобках стоит минус корень. Если корень отрицательный, минус на минус даёт плюс.

Пример 1

Разложим $x^2-5x+6$. Корни $x_1=2$, $x_2=3$, старший коэффициент $a=1$:
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

Пример 2

Разложим $x^2+x-6$. Корни $x_1=2$, $x_2=-3$:
$(x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3)$.

Пример 3 (старший коэффициент)

Разложим $2x^2-10x+12$. Корни $x_1=2$, $x_2=3$, а $a=2$ выносим вперёд:
$2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3)$.

Не забывай множитель $a$ перед скобками, если старший коэффициент не равен $1$. Иначе при раскрытии скобок получится не тот трёхчлен.

Раздел 4

Теорема Виета

Для приведённого трёхчлена $x^2+px+q$ (когда $a=1$) корни связаны с коэффициентами очень просто:

$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$

Сумма корней равна среднему коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Это помогает подбирать корни в уме.

Пример

Для $x^2-5x+6$: ищем два числа, у которых сумма $5$, а произведение $6$. Это $2$ и $3$ — это и есть корни.

Виета удобно использовать, когда корни — небольшие целые числа. Если подобрать не получается — считай через дискриминант.

Раздел 5

Выделение полного квадрата

Иногда трёхчлен можно свернуть в квадрат суммы или разности по формулам сокращённого умножения:

$x^2+2bx+b^2=(x+b)^2,\qquad x^2-2bx+b^2=(x-b)^2$

Пример

$x^2-6x+9=x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2=(x-3)^2$.
Здесь корень один (двойной): $x=3$, ведь $(x-3)^2=0$ только при $x=3$.

Полный квадрат — это частный случай разложения, когда оба корня совпадают ($x_1=x_2$). Тогда $(x-x_1)(x-x_1)=(x-x_1)^2$.

Раздел 6

Как решать задачи

Выпиши коэффициенты $a$, $b$, $c$ (следи за знаками!).
Найди корни: сначала попробуй Виета (подбор), иначе считай дискриминант.
Запиши разложение $a(x-x_1)(x-x_2)$, не забыв множитель $a$.
Если корней нет ($D<0$) — на множители над числами трёхчлен не раскладывается.
Проверь: раскрой скобки обратно — должен получиться исходный трёхчлен.

Задача

Разложите на множители $x^2-x-12$.
По Виета ищем числа с суммой $1$ и произведением $-12$: это $4$ и $-3$. Значит $x_1=4$, $x_2=-3$.
$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$.
Проверка: $(x-4)(x+3)=x^2+3x-4x-12=x^2-x-12$. Совпало.

Раздел 7

Частые ошибки

Путают знаки в скобках. Если корень $x_1=-3$, то в скобке будет $(x-(-3))=(x+3)$, а не $(x-3)$.

Теряют старший коэффициент: пишут $(x-x_1)(x-x_2)$ вместо $a(x-x_1)(x-x_2)$, когда $a\neq 1$.

Считают, что трёхчлен всегда раскладывается. При $D<0$ корней нет, и разложить на линейные множители (над числами) нельзя.

В теореме Виета берут сумму корней равной $+p$. На самом деле $x_1+x_2=-p$ — со знаком минус.

Ошибаются в дискриминанте из-за знака $c$: например, при $c=-6$ считают $-4ac=-4\cdot 1\cdot(-6)=+24$, а пишут $-24$.

Раздел 8

Шпаргалка

Трёхчлен: $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
Дискриминант: $D=b^2-4ac$.
Корни: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Разложение: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Виета (для $x^2+px+q$): $x_1+x_2=-p$, $x_1 x_2=q$.
Полный квадрат: $x^2\pm 2bx+b^2=(x\pm b)^2$.
$D<0$ → корней нет → на множители не раскладывается.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для заданий №8 и 20 ОГЭ

Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.

Тренироваться по теме Тренировать задание №8 ОГЭ

Квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен

Что такое квадратный трёхчлен

Корни квадратного трёхчлена

Разложение на множители

Теорема Виета

Выделение полного квадрата

Как решать задачи

Частые ошибки

Шпаргалка

Эта тема — основа для заданий №8 и 20 ОГЭ

Закрепите тему на практике

Что не так?