Окружность

Пройти тему целиком

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Элементы окружности 2 Центральный угол 3 Вписанный угол 4 Угол на диаметр 5 Касательная 6 Свойства вместе 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Элементы окружности

Окружность

Окружность — это линия, все точки которой одинаково удалены от одной точки — центра.

Радиус $r$ — отрезок от центра до окружности.
Диаметр $d$ — отрезок через центр, соединяющий две точки окружности. $d = 2r$.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности (диаметр — самая длинная хорда).
Дуга — часть окружности между двумя точками. Измеряется в градусах.

Радиус (красный), диаметр (синий пунктир), хорда (зелёная).

Раздел 2

Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности. Его стороны — два радиуса.

центральный угол $=$ дуге, на которую опирается

Центральный угол равен той дуге, которую он «вырезает». Если дуга $80^\circ$, то и центральный угол $80^\circ$.

Вершина центрального угла — в центре, стороны — радиусы.

Пример

Дуга равна $120^\circ$. Тогда центральный угол, опирающийся на неё, тоже $120^\circ$.

Раздел 3

Вписанный угол

Угол с вершиной на окружности. Его стороны — две хорды.

вписанный угол $= \dfrac{1}{2}\,\cdot$ дуга

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. А значит, он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вершина вписанного угла лежит на самой окружности.

Пример

Дуга равна $140^\circ$. Вписанный угол: $\dfrac{140}{2} = 70^\circ$.

Связь: центральный угол $=$ дуге, вписанный $=$ половине дуги. Поэтому вписанный вдвое меньше центрального.

Раздел 4

Угол, опирающийся на диаметр

Важное следствие

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$ (прямой).

Почему? Диаметр стягивает дугу $180^\circ$, а вписанный угол равен её половине: $\dfrac{180}{2} = 90^\circ$.

Если угол опирается на диаметр — он прямой.

Видишь, что хорды угла «упираются» в концы диаметра — значит угол $90^\circ$.

Раздел 5

Касательная

Прямая, которая касается окружности ровно в одной точке.

касательная $\perp$ радиусу в точке касания

Главное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это даёт прямоугольный треугольник, и в задачах работает теорема Пифагора.

Радиус $r$ ⊥ касательной $t$. Тогда $d^2 = r^2 + t^2$.

Пример

Расстояние от точки до центра $d = 5$, радиус $r = 3$. Длина касательной: $t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.

Раздел 6

Свойства вместе

Объект	Свойство
Диаметр	$d = 2r$
Центральный угол	равен дуге
Вписанный угол	половина дуги (и половина центрального)
Угол на диаметр	$90^\circ$
Касательная	$\perp$ радиусу; $d^2 = r^2 + t^2$

Раздел 7

Частые ошибки

Считают вписанный угол равным дуге. Он равен половине дуги.

Путают центральный и вписанный углы. Центральный $=$ дуге, вписанный $=$ половине.

Забывают, что угол на диаметр равен $90^\circ$, и пытаются искать его иначе.

Думают, что касательная и радиус образуют любой угол. Они всегда перпендикулярны в точке касания.

Берут диаметр за радиус. Помни: $d = 2r$, то есть $r = \dfrac{d}{2}$.

Раздел 8

Шпаргалка

Диаметр: $d = 2r$.
Центральный угол $=$ дуге.
Вписанный угол $= \dfrac{1}{2}\cdot$ дуга $= \dfrac{1}{2}\cdot$ центральный.
Угол на диаметр $= 90^\circ$.
Касательная $\perp$ радиусу; $t = \sqrt{d^2 - r^2}$.

↑ Наверх

Окружность