Варианты ОГЭ Каталог Математика 7–9
Подписка
Купить подписку Активировать код
Вход
Войти как ученик Войти как учитель Узнать свой балл
Геометрия 8 класс · Теория

Площади фигур

Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции считают по простым формулам. Во всех них участвует высота — отрезок, проведённый под прямым углом к основанию. Разберём каждую формулу и научимся решать обратные задачи.

Пройти тему целиком

Площади фигур

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →
Содержание
1 Площадь и высота 2 Площадь треугольника 3 Площадь параллелограмма 4 Площадь трапеции 5 Обратные задачи 6 Все формулы вместе 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка
Раздел 1

Площадь и высота

Площадь

Площадь — это величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Обозначают буквой $S$, измеряют в квадратных единицах: см², м².

Высота

Высота — это отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно (под прямым углом) к основанию. Высота показывает, насколько фигура «толстая».

Главное, что объединяет все формулы площади: в каждой участвует основание и высота, проведённая именно к этому основанию. Высота — не сторона, а перпендикуляр.

Ключевое слово — «высота к основанию». В формулу всегда берут высоту и то основание, к которому она проведена.
Раздел 2

Площадь треугольника

$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Здесь $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к этому основанию. Площадь треугольника всегда вдвое меньше «прямоугольника» с теми же основанием и высотой.

a h
Высота $h$ перпендикулярна основанию $a$. $S=\tfrac12 a h$.

Прямоугольный треугольник

У прямоугольного треугольника два катета сами перпендикулярны друг другу, поэтому один катет — основание, другой — высота:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$ (где $a$, $b$ — катеты)
Пример

Основание $10$ см, высота $6$ см. Тогда $S = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6 = 30$ см².

Раздел 3

Площадь параллелограмма

$S = a \cdot h$

$a$ — основание, $h$ — высота к нему. Обрати внимание: высота — это не наклонная боковая сторона, а перпендикуляр между основаниями.

a h
Площадь параллелограмма — основание на высоту к нему.
Пример

Основание $8$ см, высота $5$ см. Тогда $S = 8\cdot 5 = 40$ см².

Не путай высоту с боковой стороной! Если в задаче дана боковая сторона, а не высота, в формулу $S=a\cdot h$ её брать нельзя.
Раздел 4

Площадь трапеции

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие — нет.

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$

$a$ и $b$ — два основания (параллельные стороны), $h$ — высота между ними. То есть берём полусумму оснований и умножаем на высоту.

a (нижнее) b (верхнее) h
Полусумма оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.
Пример

Основания $6$ см и $10$ см, высота $4$ см. $S = \dfrac{6+10}{2}\cdot 4 = 8\cdot 4 = 32$ см².

Раздел 5

Обратные задачи

Если известна площадь, можно найти высоту или основание — нужно просто выразить нужную величину из формулы.

Найти высоту треугольника

$S = \dfrac{1}{2} a h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{2S}{a}$

Найти высоту параллелограмма

$S = a h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{S}{a}$

Найти высоту трапеции

$S = \dfrac{a+b}{2} h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{2S}{a+b}$
Пример

Площадь треугольника $24$ см², основание $8$ см. Тогда $h = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2\cdot 24}{8} = 6$ см.

Алгоритм один: запиши формулу площади, подставь известное, а неизвестное вырази (перенеси множители в другую часть).
Раздел 6

Все формулы вместе

ФигураПлощадьЧто подставляем
Треугольник$S = \dfrac{1}{2} a h$основание и высота к нему
Прямоугольный треугольник$S = \dfrac{1}{2} a b$два катета
Параллелограмм$S = a h$основание и высота к нему
Трапеция$S = \dfrac{a+b}{2} h$оба основания и высота
Запомни: у треугольника и трапеции есть «деление на 2» (или полусумма), а у параллелограмма — нет.
Раздел 7

Частые ошибки

Забывают делить на 2 в площади треугольника. Правильно $S = \dfrac{1}{2} a h$, а не $a\cdot h$.
В трапеции умножают на высоту сумму оснований без деления на 2. Нужна именно полусумма: $\dfrac{a+b}{2}$.
Берут в формулу боковую (наклонную) сторону вместо высоты. В формулу площади идёт только высота — перпендикуляр.
Пишут площадь в обычных единицах. Площадь всегда в квадратных: см², м².
В обратной задаче забывают про двойку: для треугольника $h = \dfrac{2S}{a}$, а не $\dfrac{S}{a}$.
Раздел 8

Шпаргалка

↑ Наверх

Закрепите тему на практике

Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.

Домашняя работа Пройти тест