Математика 7–9 класс /
Геометрия 8 класс /
Средняя линия
Геометрия 8 класс · Теория
Средняя линия треугольника и трапеции
Средняя линия соединяет середины двух сторон. У треугольника она равна половине
основания, у трапеции — полусумме оснований. Всего две формулы, но их часто путают —
разберёмся, чтобы не ошибаться.
Пройти тему целиком
Средняя линия
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Что такое средняя линия
Средняя линия
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон фигуры.
Слово «средняя» — потому что она проходит через середины.
Важно: средняя линия соединяет именно середины , а не произвольные
точки. Концы средней линии делят стороны ровно пополам.
У треугольника средняя линия соединяет середины двух
боковых сторон. У трапеции — середины двух боковых сторон.
Раздел 2
Средняя линия треугольника
Свойство
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине .
$m = \dfrac{a}{2}$
Здесь $a$ — основание (сторона, к которой проведена средняя линия),
$m$ — сама средняя линия.
основание a
m = a/2
Красный отрезок соединяет середины сторон: он вдвое короче основания.
Пример
Основание треугольника $16$ см. Средняя линия: $m = \dfrac{16}{2} = 8$ см.
Раздел 3
Средняя линия трапеции
Свойство
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме .
$m = \dfrac{a + b}{2}$
Здесь $a$ и $b$ — два основания трапеции. Берём их сумму и делим на $2$.
a (нижнее)
b (верхнее)
m = (a+b)/2
Средняя линия трапеции — полусумма верхнего и нижнего оснований.
Пример
Основания трапеции $6$ см и $10$ см. Средняя линия: $m = \dfrac{6+10}{2} = 8$ см.
Не путай с площадью трапеции! Средняя линия — это просто
$\dfrac{a+b}{2}$, без умножения на высоту.
Раздел 4
Обратные задачи
Если известна средняя линия, можно найти основание.
Основание треугольника
$m = \dfrac{a}{2} \;\Rightarrow\; a = 2m$
Второе основание трапеции
$m = \dfrac{a+b}{2} \;\Rightarrow\; b = 2m - a$
Пример
Средняя линия трапеции $9$ см, одно основание $5$ см. Второе:
$b = 2\cdot 9 - 5 = 18 - 5 = 13$ см.
Чтобы найти основание треугольника по средней линии — умножь её на $2$.
Раздел 5
Дополнительные свойства
У средней линии треугольника есть ещё несколько полезных свойств.
Средняя линия параллельна основанию.
Три средние линии делят треугольник на 4 равных маленьких треугольника.
Маленький треугольник из средних линий подобен большому с коэффициентом $2$,
поэтому его периметр вдвое меньше, а площадь — в $4$ раза меньше.
Пример
Периметр треугольника $24$ см. Периметр треугольника из его средних линий:
$24 : 2 = 12$ см.
Раздел 6
Две формулы вместе
Фигура Средняя линия Как считать Треугольник $m = \dfrac{a}{2}$ половина основания Трапеция $m = \dfrac{a+b}{2}$ полусумма оснований
Подсказка-память: у треугольника одно основание (делим на 2),
у трапеции — два основания (сначала складываем, потом делим на 2).
Раздел 7
Частые ошибки
Для трапеции берут половину одного основания вместо полусуммы двух.
Правильно $m = \dfrac{a+b}{2}$.
Для треугольника складывают «два основания» — но у треугольника
основание одно: $m = \dfrac{a}{2}$.
Путают среднюю линию с площадью трапеции. Средняя линия не умножается
на высоту.
В обратной задаче забывают умножить на $2$: основание треугольника
$a = 2m$, а не $a = \dfrac{m}{2}$.
Соединяют не середины сторон. Средняя линия идёт строго через середины.
Раздел 8
Шпаргалка
Треугольник: $m = \dfrac{a}{2}$ (половина основания).Трапеция: $m = \dfrac{a+b}{2}$ (полусумма оснований).Основание треугольника: $a = 2m$.Второе основание трапеции: $b = 2m - a$.Параллельность: средняя линия параллельна основанию(-ям).Периметр треугольника средних линий вдвое меньше.
↑ Наверх
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.