Теорема Пифагора

Пройти тему целиком

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Прямоугольный треугольник 2 Сама теорема 3 Найти гипотенузу 4 Найти катет 5 Пифагоровы тройки 6 Где применяется 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора работает только для прямоугольного треугольника — у которого один угол равен $90^\circ$. У него есть специальные названия для сторон.

Катеты

Катеты — это две стороны, которые образуют прямой угол. Они «короткие», прилегают к углу $90^\circ$.

Гипотенуза

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Это самая длинная сторона треугольника.

Катеты $a$ и $b$ образуют прямой угол, $c$ — гипотенуза (напротив угла $90^\circ$).

Гипотенуза всегда напротив прямого угла и всегда длиннее любого катета.

Раздел 2

Сама теорема

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$c^2 = a^2 + b^2$

Здесь $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Словами: возводим оба катета в квадрат, складываем — получаем квадрат гипотенузы.

Пример

Катеты $3$ и $4$. Тогда $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, значит $c = \sqrt{25} = 5$.

Гипотенуза $c$ стоит «отдельно» — это та сторона, что в квадрате равна сумме. Катеты складывают, гипотенузу — нет.

Раздел 3

Найти гипотенузу

Если известны оба катета, гипотенузу находим прямо по формуле:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Порядок действий: возвести катеты в квадрат → сложить → извлечь корень.

Пример

Катеты $6$ и $8$. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Раздел 4

Найти катет

Если известны гипотенуза и один катет, второй катет находим, выразив его из формулы. Из $c^2 = a^2 + b^2$ получаем:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Здесь из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета. Главное — не перепутать: гипотенуза самая большая, поэтому из её квадрата вычитаем.

Пример

Гипотенуза $13$, один катет $5$. $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

При поиске катета — вычитание, а при поиске гипотенузы — сложение. Это разные действия, не перепутай!

Раздел 5

Пифагоровы тройки

Это наборы из трёх целых чисел, которые подходят под формулу. Если их запомнить, многие задачи решаются устно — без корней.

Катеты	Гипотенуза
$3$ и $4$	$5$
$6$ и $8$	$10$
$5$ и $12$	$13$
$8$ и $15$	$17$
$7$ и $24$	$25$
$9$ и $12$	$15$

Тройку $3$–$4$–$5$ можно умножать на любое число: $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $30$–$40$–$50$ — все они тоже подходят.

Раздел 6

Где применяется

Теорема нужна всюду, где есть прямой угол, даже если самого «прямоугольного треугольника» в задаче не нарисовано.

Диагональ прямоугольника

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где стороны — катеты, а диагональ — гипотенуза:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Пример

Стороны прямоугольника $9$ и $12$. Диагональ $d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$.

Высота в равнобедренном треугольнике

Высота к основанию делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных — тогда снова работает теорема Пифагора.

Увидел прямой угол — вспоминай теорему Пифагора. Это твой главный инструмент для поиска сторон.

Раздел 7

Частые ошибки

Применяют теорему к любому треугольнику. Она работает только при прямом угле ($90^\circ$).

Путают катет и гипотенузу. Напротив прямого угла — гипотенуза, она самая длинная и стоит «одна» в формуле $c^2=a^2+b^2$.

При поиске катета складывают вместо вычитания. Если ищешь катет — $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (вычитаем!).

Складывают сами стороны, а не их квадраты: пишут $c = a + b$. Правильно — сначала в квадрат, потом корень.

Забывают извлечь корень и в ответ пишут $c^2$ вместо $c$. Найдя $c^2 = 25$, нужно получить $c = 5$.

Раздел 8

Шпаргалка

Теорема: $c^2 = a^2 + b^2$ (только для прямоугольного треугольника).
Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (катеты складываем).
Катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (из гипотенузы вычитаем).
Гипотенуза — напротив угла $90^\circ$, самая длинная сторона.
Тройки: $3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$, $7$–$24$–$25$.
Диагональ прямоугольника: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

↑ Наверх

Теорема Пифагора