Параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат — это «семья» четырёхугольников.
У каждого свои свойства, но многие из них наследуются. Разберём, чем фигуры
отличаются и как находить периметр, площадь, диагонали и углы.
Пройти тему целиком
Четырёхугольники
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Четырёхугольник — это фигура из четырёх сторон и четырёх вершин. Соседние
стороны выходят из одной вершины, противоположные — не имеют общих вершин.
Самое важное правило, которое работает для любого четырёхугольника:
Сумма всех углов четырёхугольника $= 360^\circ$
Это легко запомнить: любой четырёхугольник можно разрезать диагональю
на два треугольника, а в каждом треугольнике сумма углов $180^\circ$. Значит
$180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
Все фигуры этого урока (параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат) — это четырёхугольники, поэтому правило «сумма углов $360^\circ$»
работает для каждого из них.
Раздел 2
Параллелограмм
Параллелограмм
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны.
Свойства
Противоположные стороны равны: $AB = CD$, $BC = AD$.
Противоположные углы равны.
Соседние углы в сумме дают $180^\circ$.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Параллелограмм: противоположные стороны $a$ и $b$ равны и параллельны.
Периметр
$P = 2(a + b)$
Пример
Стороны параллелограмма $7$ см и $5$ см. Тогда $P = 2(7+5) = 24$ см.
Если один угол равен $70^\circ$, то соседний $= 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Раздел 3
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$).
Раз прямоугольник — это параллелограмм, он наследует все его свойства
(противоположные стороны равны, диагонали делятся пополам). И добавляет своё:
Все углы по $90^\circ$.
Диагонали равны между собой: $AC = BD$.
Периметр, площадь и диагональ
$P = 2(a + b), \qquad S = a \cdot b, \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2}$
Диагональ прямоугольника считают по теореме Пифагора: $d=\sqrt{a^2+b^2}$.
Пример
Стороны $6$ см и $8$ см. Тогда $S = 6\cdot 8 = 48$ см², $P = 2(6+8)=28$ см,
а диагональ $d = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$ см.
Раздел 4
Ромб
Ромб
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Ромб тоже наследует свойства параллелограмма и добавляет важное:
Все четыре стороны равны.
Диагонали перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).
Диагонали — биссектрисы углов ромба.
Периметр и площадь
$P = 4a, \qquad S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
Площадь ромба — половина произведения диагоналей.
Пример
Диагонали ромба $6$ см и $8$ см. Тогда $S = \dfrac{6\cdot 8}{2} = 24$ см².
Если сторона ромба $5$ см, то $P = 4\cdot 5 = 20$ см.
Раздел 5
Квадрат
Квадрат
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Или, что то же
самое, ромб со всеми прямыми углами.
Квадрат — самый «богатый» на свойства: он одновременно и прямоугольник,
и ромб. Поэтому у него есть всё сразу: равные стороны, прямые углы, равные
диагонали, которые ещё и перпендикулярны.
Периметр, площадь и диагональ
$P = 4a, \qquad S = a^2, \qquad d = a\sqrt{2}$
У квадрата все стороны равны: $S=a^2$, $P=4a$.
Пример
Сторона квадрата $9$ см. Тогда $S = 9^2 = 81$ см², $P = 4\cdot 9 = 36$ см.
Если известна площадь $S = 49$ см², то сторона $a = \sqrt{49} = 7$ см.
Раздел 6
Кто кому «родственник»
Фигуры связаны как «вложенные коробки»: каждая следующая — это
частный случай предыдущей с дополнительным условием.
Фигура
Что добавляется
Периметр
Площадь
Параллелограмм
стороны попарно параллельны
$2(a+b)$
$a\cdot h$
Прямоугольник
+ все углы прямые
$2(a+b)$
$a\cdot b$
Ромб
+ все стороны равны
$4a$
$\dfrac{d_1 d_2}{2}$
Квадрат
+ прямые углы и равные стороны
$4a$
$a^2$
Запомни цепочку: квадрат — это и прямоугольник, и ромб.
Поэтому к нему подходят любые формулы из этой таблицы.
Раздел 7
Частые ошибки
Путают периметр и площадь. Периметр считают в см, площадь — в см².
$P$ — это «обойти по краю», $S$ — «закрасить внутри».
Площадь ромба считают как «сторона × сторона». Нет: для ромба
$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ (через диагонали) или $S = a\cdot h$ (сторона на высоту), но не $a^2$.
Считают, что у параллелограмма диагонали равны. Равны они только
у прямоугольника и квадрата. У параллелограмма и ромба — нет.
Думают, что соседние углы параллелограмма равны. Равны
противоположные углы, а соседние в сумме дают $180^\circ$.
При поиске диагонали прямоугольника забывают про корень:
$d = \sqrt{a^2+b^2}$, а не $a^2+b^2$.
Раздел 8
Шпаргалка
Сумма углов любого четырёхугольника $= 360^\circ$.
Параллелограмм: $P = 2(a+b)$, $S = a\cdot h$; противоположные стороны и углы равны.