Четырёхугольники — домашняя работа

Инструкция

• Параллелограмм: $P = 2(a+b)$; противоположные углы равны, соседние дают $180^\circ$.
• Прямоугольник: $P = 2(a+b)$, $S = a\cdot b$, диагональ $d = \sqrt{a^2+b^2}$.
• Ромб: $P = 4a$, $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$.
• Квадрат: $P = 4a$, $S = a^2$.
• Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.

Нужна теория? Открыть конспект «Четырёхугольники» →

Параллелограмм база

Периметр, стороны и углы.

1.1Стороны параллелограмма $9$ см и $6$ см. Найдите периметр.

Показать решение

$P = 2(a+b) = 2(9+6) = 30$ см.
Ответ: $30$ см

1.2Один угол параллелограмма равен $65^\circ$. Найдите соседний с ним угол.

Показать решение

Соседние углы в сумме дают $180^\circ$: $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.
Ответ: $115^\circ$

1.3Один угол параллелограмма равен $50^\circ$. Найдите противоположный ему угол.

Показать решение

Противоположные углы параллелограмма равны: $50^\circ$.
Ответ: $50^\circ$

1.4Периметр параллелограмма $34$ см, одна сторона $10$ см. Найдите соседнюю сторону.

Показать решение

$a = \dfrac{P}{2} - b = \dfrac{34}{2} - 10 = 17 - 10 = 7$ см.
Ответ: $7$ см

1.5Один угол параллелограмма на $40^\circ$ больше соседнего с ним. Найдите меньший угол.

Показать решение

Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший — $x + 40^\circ$. Соседние углы в сумме дают $180^\circ$:
$x + x + 40^\circ = 180^\circ$, $2x = 140^\circ$, $x = 70^\circ$.
Ответ: $70^\circ$

1.6Один угол параллелограмма в $3$ раза больше соседнего с ним. Найдите больший угол.

Показать решение

Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший — $3x$:
$x + 3x = 180^\circ$, $4x = 180^\circ$, $x = 45^\circ$.
Больший угол: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$

1.7Стороны параллелограмма относятся как $3 : 5$, а его периметр равен $64$ см. Найдите большую сторону.

Показать решение

Пусть стороны равны $3x$ и $5x$:
$2(3x + 5x) = 64$, $16x = 64$, $x = 4$.
Большая сторона: $5 \cdot 4 = 20$ см.
Ответ: $20$ см

1.8Острый угол $A$ параллелограмма $ABCD$ равен $30^\circ$. Высота $DH$, опущенная из вершины $D$ на сторону $AB$, равна $7$ см. Найдите сторону $AD$.

Показать решение

В треугольнике $ADH$ угол $H$ прямой, угол $A$ равен $30^\circ$.
Катет $DH$ лежит против угла в $30^\circ$, значит он вдвое меньше гипотенузы:
$AD = 2 \cdot DH = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Ответ: $14$ см

1.9Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8$ см, $KC = 5$ см.

Показать решение

$AD \parallel BC$, поэтому $\angle KAD = \angle AKB$ как накрест лежащие.
$AK$ — биссектриса, значит $\angle BAK = \angle KAD$, откуда $\angle BAK = \angle AKB$.
Треугольник $ABK$ равнобедренный: $AB = BK = 8$ см.
$BC = 8 + 5 = 13$ см, $P = 2(8 + 13) = 42$ см.
Ответ: $42$ см

Прямоугольник средне

Периметр, площадь и диагональ.

Ромб средне

Периметр через сторону, площадь через диагонали.

Квадрат и смешанные задачи сложнее

Здесь нужно вспомнить свойства разных фигур.