Математика 7–9 класс /
Геометрия 8 класс /
Подобие треугольников
Геометрия 8 класс · Теория
Подобие треугольников
Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но разного размера:
один как будто увеличенная копия другого. У них равны углы, а стороны
пропорциональны. Разберём признаки подобия и как находить стороны.
Пройти тему целиком
Подобие треугольников
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Что такое подобие
Подобные треугольники
Два треугольника называют подобными, если у них соответственные углы равны ,
а соответственные (сходственные) стороны пропорциональны . Обозначают значком $\sim$.
Проще говоря: подобные треугольники — это один и тот же треугольник,
только в разном масштабе. Форма одна, размер разный.
маленький
большой (та же форма)
Углы одинаковые, стороны увеличены в одно и то же число раз.
Сходственные стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов.
Их и сравнивают между собой.
Раздел 2
Коэффициент подобия
Коэффициент подобия $k$
Это число, показывающее, во сколько раз один треугольник больше другого.
Равно отношению длин сходственных сторон.
$k = \dfrac{\text{сторона большого}}{\text{сторона маленького}}$
Если $k = 3$, то каждая сторона большого треугольника в $3$ раза длиннее
соответствующей стороны маленького.
Пример
Стороны $4$ см и $12$ см — сходственные. Тогда $k = \dfrac{12}{4} = 3$.
Раздел 3
Признаки подобия
Чтобы доказать подобие, не нужно проверять всё сразу. Достаточно одного
из трёх признаков.
1-й признак — по двум углам
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники
подобны. Это самый частый признак.
2-й признак — по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого,
а углы между ними равны — треугольники подобны.
3-й признак — по трём сторонам
Если три стороны одного пропорциональны трём сторонам другого —
треугольники подобны.
Чаще всего работает первый признак: достаточно найти два равных угла
(например, общий угол + параллельные прямые дают равные углы).
Раздел 4
Поиск сторон
Главное умение: зная коэффициент подобия и одну сторону, найти сходственную
сторону другого треугольника. Сходственные стороны связаны пропорцией:
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = k$
Пример
Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2{,}5$. Сторона маленького $6$ см.
Сходственная сторона большого: $6 \cdot 2{,}5 = 15$ см.
Чтобы найти бо́льшую сторону — умножай на $k$. Чтобы найти меньшую —
дели на $k$.
Раздел 5
Периметры и площади
У подобных фигур периметры и площади тоже связаны с коэффициентом — но
по-разному. Это любимая «ловушка» в задачах.
$\dfrac{P_1}{P_2} = k \qquad\qquad \dfrac{S_1}{S_2} = k^2$
Периметры относятся как коэффициент подобия $k$.Площади относятся как квадрат коэффициента $k^2$.
Пример
Коэффициент подобия $k = 3$. Тогда периметры относятся как $1:3$,
а площади как $1:9$ (потому что $3^2 = 9$).
Не путай: площади относятся как $k^2$, а не как $k$.
Если увеличить фигуру в $2$ раза, площадь вырастет в $4$ раза.
Раздел 6
Где применяется
Подобие помогает измерять то, до чего не дотянуться: высоту дерева,
ширину реки, расстояние на карте.
Высота по тени
Дерево и его тень образуют треугольник, подобный треугольнику «человек —
его тень». Зная свой рост и длины теней, находят высоту дерева.
Пример
Человек ростом $1{,}8$ м даёт тень $1$ м, дерево — тень $5$ м.
Высота дерева: $1{,}8 \cdot 5 = 9$ м.
Карта — это тоже подобие: масштаб карты и есть коэффициент подобия
между картой и местностью.
Раздел 7
Частые ошибки
Считают площади пропорциональными $k$. На самом деле площади
относятся как $k^2$.
Сравнивают «не те» стороны. Сравнивать нужно сходственные
стороны — те, что лежат напротив равных углов.
Путают, на что умножать. Чтобы получить большую сторону — умножают
на $k$; чтобы меньшую — делят на $k$.
Думают, что нужны все три признака сразу. Достаточно одного
признака, чтобы доказать подобие.
Считают равные по площади фигуры подобными. Подобие — это равные углы
и пропорциональные стороны, а не равные площади.
Раздел 8
Шпаргалка
Подобие: равные углы + пропорциональные стороны ($\triangle_1 \sim \triangle_2$).Коэффициент: $k = \dfrac{\text{большая сторона}}{\text{меньшая}}$.Сторона: большую = маленькая $\cdot\,k$; меньшую = большая $:\,k$.Периметры: относятся как $k$.Площади: относятся как $k^2$.Признаки: по двум углам / по двум сторонам и углу / по трём сторонам.
↑ Наверх
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.