Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но разного размера: один как будто увеличенная копия другого. У них равны углы, а стороны пропорциональны. Разберём признаки подобия и как находить стороны.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Два треугольника называют подобными, если у них соответственные углы равны, а соответственные (сходственные) стороны пропорциональны. Обозначают значком $\sim$.
Проще говоря: подобные треугольники — это один и тот же треугольник, только в разном масштабе. Форма одна, размер разный.
Это число, показывающее, во сколько раз один треугольник больше другого. Равно отношению длин сходственных сторон.
Если $k = 3$, то каждая сторона большого треугольника в $3$ раза длиннее соответствующей стороны маленького.
Стороны $4$ см и $12$ см — сходственные. Тогда $k = \dfrac{12}{4} = 3$.
Чтобы доказать подобие, не нужно проверять всё сразу. Достаточно одного из трёх признаков.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники подобны. Это самый частый признак.
Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны — треугольники подобны.
Если три стороны одного пропорциональны трём сторонам другого — треугольники подобны.
Главное умение: зная коэффициент подобия и одну сторону, найти сходственную сторону другого треугольника. Сходственные стороны связаны пропорцией:
Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2{,}5$. Сторона маленького $6$ см. Сходственная сторона большого: $6 \cdot 2{,}5 = 15$ см.
У подобных фигур периметры и площади тоже связаны с коэффициентом — но по-разному. Это любимая «ловушка» в задачах.
Коэффициент подобия $k = 3$. Тогда периметры относятся как $1:3$, а площади как $1:9$ (потому что $3^2 = 9$).
Подобие помогает измерять то, до чего не дотянуться: высоту дерева, ширину реки, расстояние на карте.
Дерево и его тень образуют треугольник, подобный треугольнику «человек — его тень». Зная свой рост и длины теней, находят высоту дерева.
Человек ростом $1{,}8$ м даёт тень $1$ м, дерево — тень $5$ м. Высота дерева: $1{,}8 \cdot 5 = 9$ м.
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.
Напишите — прочитаю лично. Адрес страницы приложится сам.