Математика 7–9 класс /
Алгебра 9 класс /
Арифметическая прогрессия
Алгебра 9 класс · Теория
★ База для ОГЭ
Арифметическая прогрессия
Это последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего
на одно и то же число. Разберём разность, формулу любого члена
и быстрый способ сложить хоть сто чисел сразу.
Пройти тему целиком
Арифметическая прогрессия
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Что такое арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия
Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего
прибавлением одного и того же числа $d$ — разности прогрессии.
Пример
$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \ldots$ — каждый раз прибавляем $4$. Здесь $a_1 = 3$, $d = 4$.
Если $d > 0$ — прогрессия возрастает; если $d < 0$ — убывает;
если $d = 0$ — все члены одинаковые.
Раздел 2
Разность прогрессии
Разность — это насколько каждый член отличается от предыдущего.
Её находят вычитанием соседних членов:
$d = a_{n+1} - a_n$
Пример
Для $5,\ 8,\ 11,\ \ldots$: $d = 8 - 5 = 3$ (или $11 - 8 = 3$ — результат тот же).
Вычитают именно «следующий минус предыдущий»:
у убывающей прогрессии $10,\ 7,\ 4,\ \ldots$ разность $d = 7 - 10 = -3$,
а не $3$.
Раздел 3
Формула n-го члена
Чтобы не считать все члены по очереди, есть формула:
$a_n = a_1 + (n - 1)d$
От первого члена делаем $(n-1)$ шагов по $d$ — и сразу попадаем в нужный.
Пример
$a_1 = 3$, $d = 4$. Найдём $a_{10}$:
Шагов именно $(n-1)$, а не $n$: чтобы дойти до 10-го члена
от первого, делаем $9$ прибавлений.
Раздел 4
Сумма первых n членов
Сумму удобно считать по любой из двух формул:
$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ \;\; или \;\; $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Первая удобна, когда известен последний член $a_n$; вторая — когда
известны только $a_1$ и $d$.
Пример с полным решением
Найдём сумму первых $10$ членов прогрессии $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$
Идея формулы: складываем первый член с последним, второй
с предпоследним — все пары дают одну и ту же сумму $a_1 + a_n$.
Раздел 5
Найти разность и первый член
Если известны два члена с разными номерами, разность находят так:
$d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p}$
Пример с полным решением
Дано: $a_3 = 11$, $a_7 = 27$. Найти $a_1$ и $d$.
Раздел 6
Характеристическое свойство
Каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседей:
$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Пример
В прогрессии $\ldots,\ 8,\ x,\ 14,\ \ldots$ средний член
$x = \dfrac{8 + 14}{2} = 11$.
Удобно для проверки: если три числа образуют прогрессию,
среднее должно равняться полусумме крайних.
Раздел 7
Частые ошибки
В формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$ берут $n$ шагов вместо $(n-1)$.
У убывающей прогрессии теряют минус у разности
($d = -3$, а не $3$).
В сумме забывают множитель $n$ или делят на $2$ не всю скобку.
Путают номер $n$ и значение $a_n$ — как и в обычных
последовательностях.
При поиске $d$ делят на $q - p$ неверно: для $a_3$ и $a_7$
знаменатель $7 - 3 = 4$, а не $7$ и не $3$.
Раздел 8
Шпаргалка
Разность: $d = a_{n+1} - a_n$.$n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Сумма: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n$.Найти $d$: $d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p}$.Свойство: $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.Знак $d$: $+$ — растёт, $-$ — убывает.
↑ Наверх
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания №14 ОГЭ
Числа и вычисления — фундамент всей первой части ОГЭ. Натренируешь их — и проценты, дроби и практические задачи перестанут «съедать» баллы.
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.