Уравнение четвёртой степени $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается одним красивым приёмом — заменой $t = x^2$. Главное — помнить про условие $t \ge 0$ и не забыть знак $\pm$ при возврате к $x$.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \ne 0$. В нём есть только чётные степени $x$: четвёртая, вторая и свободный член.
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ — биквадратное.
$x^4 - 2x^3 + 1 = 0$ — нет: есть нечётная степень $x^3$.
Обозначим $t = x^2$. Тогда $x^4 = t^2$, и уравнение превращается в обычное квадратное:
$t = x^2 \ge 0$. Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому отрицательные корни по $t$ отбрасываем.
$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$. Замена: $t^2 - 3t - 4 = 0$, корни $t = 4$ и $t = -1$.
$t = 4 \ge 0$ — подходит; $t = -1 < 0$ — отбрасываем.
Для каждого подходящего $t$ решаем уравнение $x^2 = t$:
Продолжим: $t = 4$, значит $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.
Ответ уравнения $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$: $x = \pm 2$.
Число корней по $x$ зависит от того, какие получились $t$:
| Корни по t | Корни по x | Всего |
|---|---|---|
| оба $t > 0$ | $\pm\sqrt{t_1}$, $\pm\sqrt{t_2}$ | 4 |
| один $t > 0$, другой $t < 0$ | $\pm\sqrt{t_1}$ | 2 |
| $t > 0$ и $t = 0$ | $\pm\sqrt{t_1}$ и $x = 0$ | 3 |
| оба $t < 0$ | — | 0 |
$x^4 + 5x^2 + 4 = 0$: $t^2 + 5t + 4 = 0$, корни $t = -1$ и $t = -4$ — оба отрицательные. Корней по $x$ нет.
Решим $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
1) Замена $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 13t + 36 = 0$.
2) $D = 169 - 144 = 25$; $t = \dfrac{13 \pm 5}{2}$, то есть $t_1 = 9$, $t_2 = 4$.
3) Оба корня неотрицательные — оба подходят.
4) $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$; \; $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Ответ: $x = -3$, $x = -2$, $x = 2$, $x = 3$ — четыре корня.
Если свободного члена нет ($c = 0$), замена не обязательна — быстрее вынести $x^2$ за скобку:
$x^4 - 9x^2 = 0$.
$x^2(x^2 - 9) = 0$ → $x^2 = 0$ или $x^2 = 9$.
Ответ: $x = -3$, $x = 0$, $x = 3$ — три корня.
Уравнения и текстовые задачи — ядро ОГЭ. Здесь важно не просто знать метод, а доводить решение до верного ответа без потери знаков и условий.